Номер 36.5, страница 337 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.5, страница 337.

Условие.

36.5. Какова вероятность того, что из 5 бросков игрального кубика ше-стёрка выпадет ровно три раза?

Решение.

36.5.

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая позволяет найти вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях событие произойдет ровно $k$ раз. Формула имеет вид:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где:
$n$ — общее число испытаний;
$k$ — число интересующих нас исходов («успехов»);
$p$ — вероятность «успеха» в одном испытании;
$q$ — вероятность «неудачи» в одном испытании, $q = 1-p$;
$C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Применим формулу к условиям задачи:
- Общее число бросков кубика: $n = 5$.
- Количество выпадений шестёрки: $k = 3$.
- Вероятность выпадения шестёрки за один бросок («успех»): $p = \frac{1}{6}$.
- Вероятность невыпадения шестёрки за один бросок («неудача»): $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Сначала рассчитаем число сочетаний $C_5^3$:
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (1 \cdot 2)} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$.
Это значит, что есть 10 различных комбинаций из 5 бросков, в которых шестёрка выпадает ровно 3 раза.

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:
$P_5(3) = 10 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{5-3} = 10 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^2$
$P_5(3) = 10 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{25}{36} = \frac{10 \cdot 25}{216 \cdot 36} = \frac{250}{7776}$.

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 2:
$\frac{250}{7776} = \frac{125}{3888}$.

Ответ: $\frac{125}{3888}$