Вопросы?, страница 337 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - страница 337.

Условие.

1. Что называют схемой Бернулли?

2. По какой формуле можно найти вероятность количества успешных исходов в схеме Бернулли?

Решение.

1. Что называют схемой Бернулли?

Схемой Бернулли (или испытаниями Бернулли) называют последовательность из определенного числа, $n$, независимых случайных испытаний, каждое из которых имеет ровно два возможных исхода. Эти исходы принято называть «успех» и «неудача».

Для того чтобы последовательность испытаний можно было считать схемой Бернулли, должны выполняться следующие условия:

• Проводится фиксированное количество испытаний ($n$).
• Каждое испытание является независимым от других. Это означает, что исход одного испытания никак не влияет на исходы последующих.
• Каждое испытание имеет строго два исхода: «успех» или «неудача».
• Вероятность «успеха», обозначаемая как $p$, остается постоянной для каждого испытания. Следовательно, вероятность «неудачи», обозначаемая как $q$, также постоянна и равна $q = 1 - p$.

Классическим примером схемы Бернулли является многократное подбрасывание симметричной монеты. Если мы подбрасываем монету 10 раз и считаем «успехом» выпадение орла, то это схема Бернулли, где $n=10$ и $p=0.5$.

Ответ: Схемой Бернулли называют последовательность независимых испытаний с двумя возможными исходами («успех» и «неудача»), вероятности которых постоянны во всех испытаниях.

2. По какой формуле можно найти вероятность количества успешных исходов в схеме Бернулли?

Вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний (в схеме Бернулли) «успех» наступит ровно $k$ раз, можно найти с помощью формулы Бернулли:

$$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$$

В этой формуле:

• $P_n(k)$ — вероятность наступления ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях.
• $n$ — общее число проведенных испытаний.
• $k$ — количество «успешных» исходов, вероятность которых мы хотим найти (целое число от 0 до $n$).
• $p$ — вероятность «успеха» в одном отдельном испытании.
• $q$ — вероятность «неудачи» в одном испытании, которая вычисляется как $q = 1 - p$.
• $C_n^k$ — биномиальный коэффициент, или число сочетаний из $n$ по $k$. Он показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ успешных исходов из $n$ испытаний. Рассчитывается по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Эта формула позволяет вычислить точную вероятность для любого количества успехов в серии испытаний Бернулли.

Ответ: Вероятность $k$ успешных исходов в $n$ испытаниях находится по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.