Номер 35.10, страница 331 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 35. Геометрическая вероятность - номер 35.10, страница 331.

Условие.

35.10. В квадрате с вершинами в точках с координатами (0; 0), (1; 0), (0; 1), (1; 1) наугад выбирают точку Q (x; y). Найдите вероятность случайного события:

1) $ \{(x; y) | y \geq 0.8\} $;

2) $ \{(x; y) | x - y < 0.3\} $;

3) $ \{(x; y) | \min\{x, y\} \leq 0.4\} $.

Решение.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Пространством элементарных событий является единичный квадрат с вершинами в точках (0; 0), (1; 0), (0; 1), (1; 1). Площадь этого квадрата $S_{общ} = 1 \times 1 = 1$. Вероятность любого события $A$ равна площади области, соответствующей этому событию: $P(A) = S(A) / S_{общ} = S(A)$.

1) {(x; y) | y ≥ 0,8}

Событие заключается в том, что для случайно выбранной точки $Q(x; y)$ из единичного квадрата выполняется условие $y \ge 0,8$. Координаты точки также должны удовлетворять условиям $0 \le x \le 1$ и $0 \le y \le 1$.

Таким образом, область, благоприятствующая событию, определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} 0 \le x \le 1 \\ 0,8 \le y \le 1 \end{cases} $

Эта область представляет собой прямоугольник с вершинами в точках (0; 0,8), (1; 0,8), (1; 1) и (0; 1). Длина этого прямоугольника равна $1 - 0 = 1$, а ширина равна $1 - 0,8 = 0,2$.

Площадь этой области (благоприятствующая площадь) равна:

$S_1 = 1 \times 0,2 = 0,2$

Вероятность события равна отношению благоприятствующей площади к общей площади:

$P_1 = \frac{S_1}{S_{общ}} = \frac{0,2}{1} = 0,2$

Ответ: 0,2

2) {(x; y) | x - y < 0,3}

Событие заключается в том, что для точки $Q(x; y)$ из единичного квадрата выполняется неравенство $x - y < 0,3$, что эквивалентно $y > x - 0,3$.

Рассмотрим прямую $y = x - 0,3$. Эта прямая пересекает ось $Ox$ в точке (0,3; 0) и прямую $x = 1$ в точке (1; 0,7). Она отсекает от единичного квадрата область, в которой $y \le x - 0,3$. Эта область является неблагоприятной для нашего события.

Неблагоприятная область определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} 0 \le x \le 1 \\ 0 \le y \le 1 \\ y \le x - 0,3 \end{cases} $

Эта область представляет собой прямоугольный треугольник с вершинами в точках (0,3; 0), (1; 0) и (1; 0,7). Катеты этого треугольника равны $1 - 0,3 = 0,7$ и $0,7 - 0 = 0,7$.

Площадь неблагоприятной области равна:

$S_{небл} = \frac{1}{2} \times 0,7 \times 0,7 = \frac{0,49}{2} = 0,245$

Площадь благоприятствующей событию области можно найти, вычтя из общей площади площадь неблагоприятной области:

$S_2 = S_{общ} - S_{небл} = 1 - 0,245 = 0,755$

Вероятность события равна:

$P_2 = \frac{S_2}{S_{общ}} = \frac{0,755}{1} = 0,755$

Ответ: 0,755

3) {(x; y) | min{x, y} ≤ 0,4}

Событие заключается в том, что для точки $Q(x; y)$ из единичного квадрата выполняется условие $\min\{x, y\} \le 0,4$. Это условие означает, что либо $x \le 0,4$, либо $y \le 0,4$ (или оба условия одновременно).

Проще найти вероятность противоположного события, которое заключается в том, что $\min\{x, y\} > 0,4$. Это условие эквивалентно системе неравенств $x > 0,4$ и $y > 0,4$.

Область, соответствующая противоположному (неблагоприятному) событию, определяется системой:

$ \begin{cases} 0,4 < x \le 1 \\ 0,4 < y \le 1 \end{cases} $

Эта область представляет собой квадрат с вершинами в точках (0,4; 0,4), (1; 0,4), (1; 1) и (0,4; 1). Длина стороны этого квадрата равна $1 - 0,4 = 0,6$.

Площадь неблагоприятной области равна:

$S_{небл} = 0,6 \times 0,6 = 0,36$

Вероятность неблагоприятного события $P(\bar{A}) = S_{небл} / S_{общ} = 0,36$.

Вероятность искомого события $P_3$ равна $1$ минус вероятность противоположного события:

$P_3 = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0,36 = 0,64$

Ответ: 0,64