Номер 35.14, страница 331 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 35. Геометрическая вероятность - номер 35.14, страница 331.

Условие.

35.14. Поезда метро ходят каждые 3 мин. Посадка пассажиров длится 20 с. Какова вероятность того, что пассажир после прихода на станцию в течение 1 мин сядет в вагон метро?

Решение.

Для решения этой задачи используется подход геометрической вероятности. Время прибытия пассажира на станцию рассматривается как случайная точка на временном отрезке, равном интервалу движения поездов.

Сначала переведем все временные интервалы в секунды.
Интервал между поездами составляет $3 \text{ мин} = 3 \times 60 = 180 \text{ с}$. Это полная длительность одного цикла.
Посадка длится $20 \text{ с}$.
Пассажир должен сесть в вагон в течение $1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$ после своего прихода.

Рассмотрим один цикл длительностью 180 секунд, начиная с момента прибытия поезда на станцию ($t=0$).
- Временной промежуток $[0, 20]$: поезд стоит на станции, двери открыты для посадки.
- Временной промежуток $(20, 180)$: поезда на станции нет, нужно ждать следующего.

Найдем длительность благоприятных исходов, то есть тех промежутков времени, придя в которые, пассажир сядет в поезд в течение 60 секунд. Разделим задачу на два случая.

Случай 1: Пассажир приходит, когда поезд стоит на станции.
Это происходит, если пассажир приходит в любой момент времени в интервале $[0, 20]$ с. В этом случае он сразу проходит в вагон, и время ожидания посадки равно нулю, что удовлетворяет условию ($0 \le 60 \text{ с}$).
Длительность этого благоприятного интервала: $t_1 = 20 \text{ с}$.

Случай 2: Пассажир приходит, когда поезд уже ушел.
Это происходит, если пассажир приходит в интервале времени $(20, 180)$ с. Следующий поезд прибудет в момент времени $t=180 \text{ с}$. Время, которое пассажиру придется ждать до начала посадки, будет равно $180 - t_{прихода}$. По условию задачи, это время не должно превышать 60 секунд:
$180 - t_{прихода} \le 60$
$t_{прихода} \ge 180 - 60$
$t_{прихода} \ge 120$
Таким образом, для выполнения условия пассажир должен прийти в промежутке времени $[120, 180)$ с.
Длительность этого благоприятного интервала: $t_2 = 180 - 120 = 60 \text{ с}$.

Суммарная длительность всех благоприятных для пассажира моментов времени составляет:
$t_{благоприятное} = t_1 + t_2 = 20 \text{ с} + 60 \text{ с} = 80 \text{ с}$.

Вероятность $P$ искомого события равна отношению суммарной длительности благоприятных исходов ко всей длительности цикла:
$P = \frac{t_{благоприятное}}{T_{цикла}} = \frac{80}{180} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$.