Номер 35.13, страница 331 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 35. Геометрическая вероятность - номер 35.13, страница 331.

Условие.

35.13. Андрей и Кирилл договорились о встрече в 12:00. Каждый из них приходит на место встречи в любое время от 11:50 до 12:10 независимо от другого. Друзья договорились ждать друг друга 10 мин.

Какова вероятность того, что встреча состоится?

Решение.

Эта задача относится к классу задач на геометрическую вероятность.

Пусть $x$ — время прихода Андрея, а $y$ — время прихода Кирилла. За точку отсчета (0 минут) примем 11:50. Тогда каждый из них может прийти в любой момент времени в течение 20 минут, то есть с 11:50 до 12:10. Таким образом, время прихода каждого из них является случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке $[0, 20]$.

На координатной плоскости $Oxy$ множество всех возможных исходов представляет собой квадрат со стороной 20 и вершинами в точках (0, 0), (20, 0), (20, 20) и (0, 20). Площадь этого квадрата, представляющая собой меру всех возможных исходов, равна:
$S_{всех} = 20 \times 20 = 400$ кв. ед.

Встреча состоится, если разница во времени их прихода не превысит 10 минут. Математически это условие можно записать в виде неравенства:
$|x - y| \le 10$

Это двойное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x - y \le 10 \\ y - x \le 10 \end{cases}$
или
$\begin{cases} y \ge x - 10 \\ y \le x + 10 \end{cases}$

Эта система неравенств определяет область на плоскости, заключенную между двумя параллельными прямыми $y = x - 10$ и $y = x + 10$. Нам нужно найти площадь той части этой области, которая лежит внутри нашего квадрата $[0, 20] \times [0, 20]$.

Проще найти площадь области, где встреча не состоится. Это соответствует условию $|x - y| > 10$, что распадается на два неравенства:
1. $y < x - 10$
2. $y > x + 10$

Первое неравенство $y < x - 10$ отсекает от квадрата прямоугольный треугольник в правом нижнем углу с вершинами в точках (10, 0), (20, 0) и (20, 10). Катеты этого треугольника равны $20 - 10 = 10$ и $10 - 0 = 10$. Его площадь равна:
$S_1 = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50$ кв. ед.

Второе неравенство $y > x + 10$ отсекает от квадрата прямоугольный треугольник в левом верхнем углу с вершинами в точках (0, 10), (0, 20) и (10, 20). Катеты этого треугольника также равны 10. Его площадь равна:
$S_2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50$ кв. ед.

Суммарная площадь неблагоприятных исходов (когда встреча не состоится) равна:
$S_{неблагоприятных} = S_1 + S_2 = 50 + 50 = 100$ кв. ед.

Тогда площадь благоприятных исходов (когда встреча состоится) равна разности площади всего квадрата и площади неблагоприятных исходов:
$S_{благоприятных} = S_{всех} - S_{неблагоприятных} = 400 - 100 = 300$ кв. ед.

Вероятность того, что встреча состоится, равна отношению площади благоприятных исходов к площади всех возможных исходов:
$P = \frac{S_{благоприятных}}{S_{всех}} = \frac{300}{400} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$