Номер 35.11, страница 331 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 35. Геометрическая вероятность - номер 35.11, страница 331.

Условие.

35.11. На плоскости провели бесконечное количество параллельных прямых. Расстояние между соседними прямыми равно 5. Какова вероятность того, что монета радиуса 1, которую случайным образом бросают на плоскость, пересечёт одну из параллельных прямых?

Решение.

Это задача на геометрическую вероятность. Поскольку параллельные прямые покрывают всю плоскость и расположены периодически, мы можем рассмотреть только одну полосу между двумя соседними прямыми. Результат будет одинаков для всей плоскости.

Пусть расстояние между соседними параллельными прямыми равно $d=5$. Радиус монеты равен $r=1$.

Положение монеты на плоскости определяется положением её центра. Так как прямые параллельны, то для определения пересечения важна только координата центра монеты по оси, перпендикулярной этим прямым.

Рассмотрим полосу шириной $d=5$ между двумя прямыми. Пусть $y$ — это расстояние от центра монеты до одной из этих прямых. Поскольку монета бросается случайным образом, можно считать, что координата $y$ равномерно распределена на отрезке $[0, 5]$. Длина этого отрезка представляет собой меру всех возможных исходов: $L_{всех} = 5$.

Монета пересечёт одну из прямых, если расстояние от её центра до этой прямой будет меньше или равно радиусу монеты.

1. Монета пересечёт первую прямую (на границе $y=0$), если её центр находится на расстоянии не более $r$ от этой прямой, то есть $0 \le y \le r$. В нашем случае, $0 \le y \le 1$. Длина этого "благоприятного" отрезка равна $L_1 = 1$.

2. Монета пересечёт вторую прямую (на границе $y=5$), если её центр находится на расстоянии не более $r$ от этой прямой, то есть $d-r \le y \le d$. В нашем случае, $5-1 \le y \le 5$, что соответствует отрезку $[4, 5]$. Длина этого "благоприятного" отрезка также равна $L_2 = 1$.

Поскольку диаметр монеты $2r = 2$ меньше расстояния между прямыми $d=5$, монета не может одновременно пересечь две прямые. Поэтому общая мера благоприятных исходов — это сумма длин двух этих отрезков: $L_{благоприятных} = L_1 + L_2 = 1 + 1 = 2$.

Вероятность события — это отношение меры благоприятных исходов к мере всех возможных исходов: $P = \frac{L_{благоприятных}}{L_{всех}} = \frac{2}{5} = 0,4$.

Ответ: $0,4$.