Номер 35.5, страница 330 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 35. Геометрическая вероятность - номер 35.5, страница 330.

Условие.

35.5. На окружности с центром в точке $O$ отметили точки $A$ и $B$ так, что прямая $AB$ не содержит точку $O$. На этой же окружности случайным образом выбирается точка $C$. Найдите вероятность того, что хорда $BC$ пересекает диаметр, проходящий через точку $A$.

Решение.

35.5.

Пусть $AA'$ — это диаметр окружности, проходящий через данную точку $A$. Этот диаметр делит всю окружность на две равные дуги — две полуокружности.

Хорда $BC$ пересекает диаметр $AA'$ в том и только в том случае, когда ее концы, точки $B$ и $C$, лежат на разных полуокружностях.

Согласно условию, прямая $AB$ не проходит через центр окружности $O$. Это означает, что точка $B$ не совпадает ни с точкой $A$, ни с диаметрально противоположной ей точкой $A'$. Следовательно, точка $B$ зафиксирована на одной из двух полуокружностей.

Точка $C$ выбирается на окружности случайным образом, что предполагает равномерное распределение вероятности по всей длине окружности. Благоприятное событие (пересечение хорды $BC$ и диаметра $AA'$) произойдет, если точка $C$ будет выбрана на полуокружности, не содержащей точку $B$.

Вероятность в данном случае — это геометрическая вероятность, которая определяется как отношение длины дуги, соответствующей благоприятным исходам, к длине всей окружности.

Пусть длина всей окружности равна $L$. Длина дуги, на которую должна попасть точка $C$ (то есть полуокружность, на которой не лежит точка $B$), равна $L/2$.

Таким образом, искомая вероятность $P$ равна:$P = \frac{L/2}{L} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$