Номер 35.3, страница 330 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 35. Геометрическая вероятность - номер 35.3, страница 330.

Условие.

35.3. В круг радиуса 1 вписали квадрат. Какова вероятность того, что наугад выбранная точка круга не попадёт в этот вписанный квадрат?

Решение.

35.3.

Для решения этой задачи используется концепция геометрической вероятности. Вероятность того, что случайно выбранная точка попадет в некоторую область внутри большей области, равна отношению площади меньшей области к площади большей области.

В нашем случае, событие, вероятность которого нужно найти, — это то, что точка, выбранная в круге, не попадет во вписанный квадрат. Это эквивалентно тому, что точка попадет в область, которая является частью круга, но находится вне квадрата.

1. Найдем площадь круга ($S_{круга}$).

Радиус круга дан по условию: $R = 1$.
Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$.
Подставляем значение радиуса:
$S_{круга} = \pi \cdot 1^2 = \pi$.
Это общая площадь, в которой может оказаться точка.

2. Найдем площадь вписанного квадрата ($S_{квадрата}$).

Когда квадрат вписан в круг, его диагональ ($d$) равна диаметру круга ($D$).
Диаметр круга $D = 2R = 2 \cdot 1 = 2$.
Следовательно, диагональ квадрата $d = 2$.
Площадь квадрата можно вычислить через его диагональ по формуле $S_{квадрата} = \frac{d^2}{2}$.
Подставляем значение диагонали:
$S_{квадрата} = \frac{2^2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

3. Найдем площадь области, в которую точка не должна попасть.

Событие "точка не попадет в квадрат" означает, что она попадет в область, равную площади круга за вычетом площади квадрата. Назовем эту площадь "благоприятной" ($S_{благ}$).
$S_{благ} = S_{круга} - S_{квадрата} = \pi - 2$.

4. Вычислим искомую вероятность.

Вероятность ($P$) равна отношению благоприятной площади к общей площади круга.
$P = \frac{S_{благ}}{S_{круга}} = \frac{\pi - 2}{\pi}$.
Это выражение можно упростить:
$P = \frac{\pi}{\pi} - \frac{2}{\pi} = 1 - \frac{2}{\pi}$.

Ответ: $1 - \frac{2}{\pi}$