Номер 35.9, страница 330 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 35. Геометрическая вероятность - номер 35.9, страница 330.

Условие.

35.9. В квадрате с вершинами в точках с координатами (0; 0), (1; 0), (0; 1), (1; 1) наугад выбирают точку Q (x; y). Найдите вероятность случайного события:

1) $\{(x; y) | x < 0,3\}$;

2) $\{(x; y) | x + y > 0,2\}$;

3) $\{(x; y) | \max\{x, y\} \ge 0,7\}$.

Решение.

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Пространством элементарных исходов является единичный квадрат, ограниченный линиями $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=1$. Любая точка $Q(x; y)$, выбранная наугад в этом квадрате, имеет координаты, удовлетворяющие условиям $0 \le x \le 1$ и $0 \le y \le 1$.

Площадь этого квадрата, которая представляет собой меру всего пространства элементарных исходов, равна $S_{total} = 1 \times 1 = 1$.

Вероятность $P$ случайного события $A$ вычисляется как отношение площади $S_A$ области, благоприятствующей этому событию, к общей площади квадрата: $P(A) = \frac{S_A}{S_{total}} = \frac{S_A}{1} = S_A$.

Таким образом, задача сводится к нахождению площадей областей, заданных соответствующими условиями.

1) {(x; y) | x < 0,3};

Событие состоит в том, что абсцисса $x$ случайно выбранной точки меньше 0,3. Так как точка находится в единичном квадрате, ее координаты должны удовлетворять системе неравенств: $ \begin{cases} 0 \le x < 0,3 \\ 0 \le y \le 1 \end{cases} $

Эта система неравенств задает на плоскости прямоугольник с вершинами в точках (0; 0), (0,3; 0), (0,3; 1) и (0; 1).

Площадь этого прямоугольника $S_1$ равна произведению длин его сторон: $S_1 = 0,3 \times 1 = 0,3$.

Следовательно, искомая вероятность $P_1$ равна этой площади: $P_1 = S_1 = 0,3$.

Ответ: 0,3.

2) {(x; y) | x + y > 0,2};

Событие состоит в том, что сумма координат $x+y$ случайно выбранной точки больше 0,2. Для решения удобнее рассмотреть противоположное событие, которое заключается в том, что $x + y \le 0,2$.

Область, соответствующая противоположному событию (внутри единичного квадрата), задается системой неравенств: $ \begin{cases} x + y \le 0,2 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases} $

Эта область представляет собой прямоугольный треугольник, ограниченный осями координат ($x=0$, $y=0$) и прямой $x+y=0,2$. Вершины этого треугольника — точки (0; 0), (0,2; 0) и (0; 0,2).

Площадь этого треугольника $S_{прот}$ (площадь неблагоприятного исхода) равна: $S_{прот} = \frac{1}{2} \times 0,2 \times 0,2 = 0,02$.

Вероятность противоположного события равна $P_{прот} = S_{прот} = 0,02$.

Искомая вероятность $P_2$ события $x+y>0,2$ находится как $P_2 = 1 - P_{прот}$: $P_2 = 1 - 0,02 = 0,98$.

Это также можно найти как площадь $S_2$ благоприятной области: $S_2 = S_{total} - S_{прот} = 1 - 0,02 = 0,98$.

Ответ: 0,98.

3) {(x; y) | max{x, y} $\ge$ 0,7}.

Событие состоит в том, что максимальная из двух координат точки не меньше 0,7. Это эквивалентно тому, что выполняется хотя бы одно из двух условий: $x \ge 0,7$ или $y \ge 0,7$.

Проще найти вероятность противоположного события: $\max\{x, y\} < 0,7$.

Условие $\max\{x, y\} < 0,7$ означает, что обе координаты должны быть меньше 0,7, то есть $x < 0,7$ и $y < 0,7$.

Область, соответствующая противоположному событию (внутри единичного квадрата), задается системой неравенств: $ \begin{cases} 0 \le x < 0,7 \\ 0 \le y < 0,7 \end{cases} $

Эта область является квадратом с вершинами в точках (0; 0), (0,7; 0), (0,7; 0,7) и (0; 0,7).

Площадь этого квадрата $S_{прот}$ (площадь неблагоприятного исхода) равна: $S_{прот} = 0,7 \times 0,7 = 0,49$.

Вероятность противоположного события $P_{прот} = S_{прот} = 0,49$.

Тогда искомая вероятность $P_3$ события $\max\{x, y\} \ge 0,7$ равна: $P_3 = 1 - P_{прот} = 1 - 0,49 = 0,51$.

Ответ: 0,51.