Номер 36.4, страница 337 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.4, страница 337.

Условие.

36.4. Какое количество успешных исходов наименее вероятно в схеме Бернулли с параметрами $n=3$ и $p=75$ %?

Решение.

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу Бернулли, которая определяет вероятность наступления ровно $k$ успехов в серии из $n$ независимых испытаний. Формула имеет вид:
$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$
где $n$ — общее количество испытаний, $k$ — количество успешных исходов, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, а $q = 1 - p$ — вероятность неудачи.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие параметры:
Количество испытаний: $n = 3$.
Вероятность успеха: $p = 75\% = 0.75$.
Следовательно, вероятность неудачи: $q = 1 - 0.75 = 0.25$.

Количество успешных исходов $k$ может быть $0, 1, 2$ или $3$. Нам нужно вычислить вероятность для каждого из этих случаев и найти наименьшую.

1. Вероятность 0 успешных исходов ($k=0$):
$P_3(0) = C_3^0 \cdot p^0 \cdot q^{3-0} = \frac{3!}{0!(3-0)!} \cdot (0.75)^0 \cdot (0.25)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.015625 = 0.015625$

2. Вероятность 1 успешного исхода ($k=1$):
$P_3(1) = C_3^1 \cdot p^1 \cdot q^{3-1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} \cdot (0.75)^1 \cdot (0.25)^2 = 3 \cdot 0.75 \cdot 0.0625 = 0.140625$

3. Вероятность 2 успешных исходов ($k=2$):
$P_3(2) = C_3^2 \cdot p^2 \cdot q^{3-2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} \cdot (0.75)^2 \cdot (0.25)^1 = 3 \cdot 0.5625 \cdot 0.25 = 0.421875$

4. Вероятность 3 успешных исходов ($k=3$):
$P_3(3) = C_3^3 \cdot p^3 \cdot q^{3-3} = \frac{3!}{3!(3-3)!} \cdot (0.75)^3 \cdot (0.25)^0 = 1 \cdot 0.421875 \cdot 1 = 0.421875$

Теперь сравним полученные вероятности:
$P_3(0) = 0.015625$
$P_3(1) = 0.140625$
$P_3(2) = 0.421875$
$P_3(3) = 0.421875$

Наименьшее значение вероятности равно $0.015625$, что соответствует $k=0$ успешным исходам.
Ответ: 0.