Номер 36.14, страница 338 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 36. Схема Бернулли - номер 36.14, страница 338.

Условие.

36.14. В сборную команду России на Международной математической олимпиаде входит 6 человек. На основании выступлений российских школьников на олимпиадах прошлых лет был сделан вывод, что вероятность российского школьника получить золотую медаль на олимпиаде составляет около 61 %. Оцените вероятность того, что на очередной Международной математической олимпиаде команда России завоюет не менее 5 золотых медалей.

Решение.

Для решения этой задачи мы можем использовать схему испытаний Бернулли. Каждого из 6 членов команды можно рассматривать как отдельное испытание. Успехом будем считать получение золотой медали.

Введем следующие обозначения:

• $n$ – общее количество испытаний (число школьников в команде), $n=6$.
• $k$ – количество успешных исходов (число завоеванных золотых медалей).
• $p$ – вероятность успеха в одном испытании (вероятность получения золотой медали одним школьником), $p=0,61$.
• $q$ – вероятность неудачи в одном испытании (вероятность не получить золотую медаль), $q = 1 - p = 1 - 0,61 = 0,39$.

Нам нужно оценить вероятность того, что команда завоюет не менее 5 золотых медалей. Это означает, что команда завоюет либо ровно 5, либо ровно 6 золотых медалей. Вероятность этого события равна сумме вероятностей этих двух исходов:
$P(k \ge 5) = P(k=5) + P(k=6)$

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний.

1. Найдем вероятность того, что команда завоюет ровно 5 золотых медалей ($k=5$):
$P_6(5) = C_6^5 \cdot (0,61)^5 \cdot (0,39)^{6-5} = \frac{6!}{5!(6-5)!} \cdot (0,61)^5 \cdot (0,39)^1$
$C_6^5 = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = 6$
$P_6(5) = 6 \cdot (0,61)^5 \cdot 0,39 \approx 6 \cdot 0,08446 \cdot 0,39 \approx 0,19769$

2. Найдем вероятность того, что команда завоюет ровно 6 золотых медалей ($k=6$):
$P_6(6) = C_6^6 \cdot (0,61)^6 \cdot (0,39)^{6-6} = \frac{6!}{6!(6-6)!} \cdot (0,61)^6 \cdot (0,39)^0$
$C_6^6 = 1$ и $(0,39)^0 = 1$
$P_6(6) = 1 \cdot (0,61)^6 \cdot 1 = (0,61)^6 \approx 0,05152$

3. Теперь сложим эти вероятности, чтобы найти искомую вероятность:
$P(k \ge 5) = P_6(5) + P_6(6) \approx 0,19769 + 0,05152 = 0,24921$

Таким образом, вероятность того, что команда России завоюет не менее 5 золотых медалей, составляет примерно 0,249, или около 24,9%.
Ответ: $0,24921$