Номер 34.19, страница 326 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 34. Зависимые и независимые события - номер 34.19, страница 326.

Условие.

34.19. Пусть $A$ и $B$ — независимые события некоторого испытания с ненулевыми вероятностями. Могут ли события $A$ и $B$ быть несовместными?

Решение.

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо обратиться к определениям независимых и несовместных событий.

События $A$ и $B$ называются независимыми, если вероятность их одновременного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей. Математически это записывается так:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

События $A$ и $B$ называются несовместными (или взаимоисключающими), если они не могут произойти одновременно. Это означает, что их пересечение является пустым множеством ($A \cap B = \emptyset$), и, следовательно, вероятность их совместного наступления равна нулю:

$P(A \cap B) = 0$

В условии задачи сказано, что события $A$ и $B$ являются независимыми и имеют ненулевые вероятности, то есть $P(A) > 0$ и $P(B) > 0$.

Теперь предположим, что события $A$ и $B$ могут быть несовместными. Если это так, то по определению несовместных событий должно выполняться равенство:

$P(A \cap B) = 0$

С другой стороны, поскольку события $A$ и $B$ независимы, для них также должно выполняться равенство:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Приравнивая правые части этих двух выражений, получаем:

$P(A) \cdot P(B) = 0$

Это равенство может быть истинным только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть либо $P(A) = 0$, либо $P(B) = 0$.

Однако это прямо противоречит условию задачи, в котором указано, что вероятности обоих событий ненулевые ($P(A) > 0$ и $P(B) > 0$).

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что события могут быть несовместными, неверно. Независимые события с ненулевыми вероятностями не могут быть несовместными.

Ответ: Нет, не могут.