Номер 34.15, страница 325 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 34. Зависимые и независимые события - номер 34.15, страница 325.

Условие.

34.15. На проспекте установлено два светофора. Вероятность зафиксировать зелёный свет на первом светофоре равна 0,7, а на втором светофоре — 0,9. Вероятность зафиксировать зелёный свет одновременно на обоих светофорах равна 0,6. Найдите вероятность:

1) зафиксировать зелёный свет на первом светофоре при условии, что на втором светофоре также горит зелёный свет;

2) зафиксировать зелёный свет на втором светофоре при условии, что на первом светофоре также горит зелёный свет;

3) зафиксировать сигнал, запрещающий движение на первом светофоре, при условии, что на втором светофоре горит зелёный свет;

4) зафиксировать зелёный свет на втором светофоре при условии, что на первом светофоре горит сигнал, запрещающий движение.

Решение.

Введем обозначения для событий:
A = {на первом светофоре горит зелёный свет}
B = {на втором светофоре горит зелёный свет}

Исходя из условия задачи, нам известны следующие вероятности:
$P(A) = 0,7$
$P(B) = 0,9$
$P(A \cap B) = 0,6$ (вероятность того, что на обоих светофорах одновременно горит зелёный свет)

Для нахождения условных вероятностей будем использовать формулу: $P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$, где $P(X|Y)$ — это вероятность события X при условии, что событие Y уже произошло.

1) зафиксировать зелёный свет на первом светофоре при условии, что на втором светофоре также горит зелёный свет;

В данном случае нам необходимо найти вероятность события A при условии, что событие B произошло, то есть $P(A|B)$.
Применяем формулу условной вероятности:
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,6}{0,9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

2) зафиксировать зелёный свет на втором светофоре при условии, что на первом светофоре также горит зелёный свет;

Здесь нам нужно найти вероятность события B при условии, что событие A произошло, то есть $P(B|A)$.
Используем ту же формулу:
$P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{0,6}{0,7} = \frac{6}{7}$
Ответ: $\frac{6}{7}$

3) зафиксировать сигнал, запрещающий движение на первом светофоре, при условии, что на втором светофоре горит зелёный свет;

Пусть событие $\bar{A}$ означает, что на первом светофоре горит сигнал, запрещающий движение. Это событие является противоположным событию A. Нам нужно найти вероятность $P(\bar{A}|B)$.
Поскольку при условии, что на втором светофоре горит зелёный свет, на первом может гореть либо зелёный (событие A), либо запрещающий сигнал (событие $\bar{A}$), то сумма их условных вероятностей равна 1:
$P(A|B) + P(\bar{A}|B) = 1$
Из этого следует:
$P(\bar{A}|B) = 1 - P(A|B) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

4) зафиксировать зелёный свет на втором светофоре при условии, что на первом светофоре горит сигнал, запрещающий движение.

Нам требуется найти условную вероятность $P(B|\bar{A})$. По формуле:
$P(B|\bar{A}) = \frac{P(B \cap \bar{A})}{P(\bar{A})}$
Сначала найдем вероятность события $\bar{A}$. Так как A и $\bar{A}$ — противоположные события, то $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
$P(\bar{A}) = 1 - 0,7 = 0,3$
Теперь найдем вероятность $P(B \cap \bar{A})$ — это вероятность того, что на втором светофоре зелёный, а на первом — запрещающий. Событие B (зелёный на втором) может произойти одновременно либо с событием A (зелёный на первом), либо с событием $\bar{A}$ (запрещающий на первом). Эти два варианта являются несовместными событиями, поэтому:
$P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A})$
Отсюда можем выразить и вычислить искомую вероятность:
$P(B \cap \bar{A}) = P(B) - P(B \cap A) = 0,9 - 0,6 = 0,3$
Теперь подставляем найденные значения в формулу условной вероятности:
$P(B|\bar{A}) = \frac{0,3}{0,3} = 1$
Ответ: 1