Номер 34.10, страница 324 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 34. Зависимые и независимые события - номер 34.10, страница 324.

Условие.

34.10. Из коробки, в которой лежат 15 синих и 10 красных шаров, наугад берут сначала один, а потом ещё один шар. Известно, что первый шар был синим. Вычислите вероятность того, что второй шар окажется красным. Составьте дендрограмму этого опыта.

Решение.

Вычислите вероятность того, что второй шар окажется красным

Изначально в коробке находится 15 синих и 10 красных шаров. Общее количество шаров: $15 + 10 = 25$.

По условию задачи, известно, что первый вынутый шар был синим. Это событие уже произошло. После того, как из коробки вынули один синий шар, в ней остались:

• Синих шаров: $15 - 1 = 14$
• Красных шаров: $10$ (количество не изменилось)
• Всего шаров в коробке: $25 - 1 = 24$

Теперь нам нужно найти вероятность того, что второй вынутый шар окажется красным. Эта вероятность вычисляется как отношение количества красных шаров к общему числу оставшихся шаров.

Пусть событие $A$ — «второй шар красный», при условии, что первый был синий. Вероятность этого события равна:

$P(A) = \frac{\text{количество красных шаров}}{\text{общее количество оставшихся шаров}} = \frac{10}{24}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:

$P(A) = \frac{10 \div 2}{24 \div 2} = \frac{5}{12}$

Ответ: $\frac{5}{12}$

Составьте дендрограмму этого опыта

Дендрограмма (или дерево вероятностей) для этого опыта показывает все возможные последовательности исходов и их вероятности. Обозначим извлечение синего шара буквой 'С', а красного — 'К'. Индекс 1 будет означать первый шаг, а индекс 2 — второй.

• Шаг 1: Извлечение первого шара (в коробке 15С и 10К, всего 25)
  • Вынут синий шар ($С_1$). Вероятность этого события: $P(С_1) = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.
    • Шаг 2: Извлечение второго шара (в коробке 14С и 10К, всего 24)
      • Вынут синий шар ($С_2$). Условная вероятность: $P(С_2|С_1) = \frac{14}{24} = \frac{7}{12}$.
        Полная вероятность исхода $С_1С_2$ (синий, затем синий): $P(С_1 \cap С_2) = \frac{3}{5} \times \frac{7}{12} = \frac{21}{60} = \frac{7}{20}$.
      • Вынут красный шар ($К_2$). Условная вероятность: $P(К_2|С_1) = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$.
        Полная вероятность исхода $С_1К_2$ (синий, затем красный): $P(С_1 \cap К_2) = \frac{3}{5} \times \frac{5}{12} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$.
  • Вынут красный шар ($К_1$). Вероятность этого события: $P(К_1) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
    • Шаг 2: Извлечение второго шара (в коробке 15С и 9К, всего 24)
      • Вынут синий шар ($С_2$). Условная вероятность: $P(С_2|К_1) = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$.
        Полная вероятность исхода $К_1С_2$ (красный, затем синий): $P(К_1 \cap С_2) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{8} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$.
      • Вынут красный шар ($К_2$). Условная вероятность: $P(К_2|К_1) = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$.
        Полная вероятность исхода $К_1К_2$ (красный, затем красный): $P(К_1 \cap К_2) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}$.

Ответ: Дендрограмма опыта представлена выше в виде дерева вероятностей.