Номер 34.9, страница 324 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 34. Зависимые и независимые события - номер 34.9, страница 324.

Условие.

34.9. На собрании присутствуют 16 человек, из которых 11 женщин и 5 мужчин. Для подсчёта результатов голосования предлагается выбрать счётную комиссию из трёх человек. Членов счётной комиссии выбирают последовательно путём жребия. Известно, что первыми двумя членами комиссии оказались мужчины. Найдите вероятность того, что третьим из выбранных членов счётной комиссии окажется женщина. Составьте дендрограмму этого опыта.

Решение.

Найдите вероятность того, что третьим из выбранных членов счётной комиссии окажется женщина

По условию, на собрании присутствуют 16 человек, из которых 11 женщин (Ж) и 5 мужчин (М). Счётная комиссия состоит из трёх человек, которых выбирают последовательно.

Нам дано, что первые два выбранных члена комиссии — мужчины. Это означает, что мы должны рассчитать условную вероятность, исходя из изменившегося состава группы.

Рассмотрим процесс выбора по шагам:

1. Изначальный состав: 16 человек (11 Ж, 5 М).

2. После выбора первого мужчины: В группе остаётся $16 - 1 = 15$ человек. Состав группы меняется: 11 женщин и $5 - 1 = 4$ мужчины.

3. После выбора второго мужчины: В группе остаётся $15 - 1 = 14$ человек. Состав группы снова меняется: 11 женщин и $4 - 1 = 3$ мужчины.

Теперь нам нужно найти вероятность того, что третий выбранный член комиссии будет женщиной. Выбор будет производиться из оставшихся 14 человек.

Число благоприятных исходов (выбор женщины) равно количеству оставшихся женщин, то есть 11.

Общее число возможных исходов равно общему количеству оставшихся людей, то есть 14.

Вероятность $P$ данного события вычисляется по формуле:

$P(\text{третий — женщина} | \text{первые два — мужчины}) = \frac{\text{число оставшихся женщин}}{\text{общее число оставшихся людей}}$

Подставляя значения, получаем:

$P = \frac{11}{14}$

Ответ: $\frac{11}{14}$

Составьте дендрограмму этого опыта

Дендрограмма (или дерево вероятностей) показывает все возможные последовательности выбора трёх членов комиссии и соответствующие вероятности на каждом шаге.

Ответ:

• Шаг 1: Выбор первого члена комиссии (из 16 человек: 11 Ж, 5 М)
  • Выбран Мужчина (М) — вероятность $P = \frac{5}{16}$.
    Осталось 15 человек: 11 Ж, 4 М.
    • Шаг 2: Выбор второго члена комиссии
      • Выбран Мужчина (М) — вероятность $P = \frac{4}{15}$.
        Осталось 14 человек: 11 Ж, 3 М.
        • Шаг 3: Выбор третьего члена комиссии
          • Выбран Мужчина (М) — вероятность $P = \frac{3}{14}$.
          • Выбрана Женщина (Ж) — вероятность $P = \frac{11}{14}$.
      • Выбрана Женщина (Ж) — вероятность $P = \frac{11}{15}$.
        Осталось 14 человек: 10 Ж, 4 М.
        • Шаг 3: Выбор третьего члена комиссии
          • Выбран Мужчина (М) — вероятность $P = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$.
          • Выбрана Женщина (Ж) — вероятность $P = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$.
  • Выбрана Женщина (Ж) — вероятность $P = \frac{11}{16}$.
    Осталось 15 человек: 10 Ж, 5 М.
    • Шаг 2: Выбор второго члена комиссии
      • Выбран Мужчина (М) — вероятность $P = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
        Осталось 14 человек: 10 Ж, 4 М.
        • Шаг 3: Выбор третьего члена комиссии
          • Выбран Мужчина (М) — вероятность $P = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$.
          • Выбрана Женщина (Ж) — вероятность $P = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$.
      • Выбрана Женщина (Ж) — вероятность $P = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
        Осталось 14 человек: 9 Ж, 5 М.
        • Шаг 3: Выбор третьего члена комиссии
          • Выбран Мужчина (М) — вероятность $P = \frac{5}{14}$.
          • Выбрана Женщина (Ж) — вероятность $P = \frac{9}{14}$.