Номер 34.8, страница 324 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 34. Зависимые и независимые события - номер 34.8, страница 324.

Условие.

34.8. Известно, что $p_A(B) = 0.4$, $p_B(A) = 0.7$ и $p(A \cap B) = 0.2$. Найдите:

1) $p(A)$;

2) $p(B)$;

3) $p(A \cup B)$.

Решение.

Для решения задачи используются определение условной вероятности и формула сложения вероятностей для совместных событий.
Нам даны следующие значения:
- Условная вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ произошло: $p_A(B) = p(B|A) = 0,4$.
- Условная вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ произошло: $p_B(A) = p(A|B) = 0,7$.
- Вероятность пересечения событий $A$ и $B$ (одновременного наступления обоих событий): $p(A \cap B) = 0,2$.

1) p(A);

Формула условной вероятности события $B$ при условии $A$ имеет вид:
$p_A(B) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}$
Из этой формулы выразим искомую вероятность $p(A)$:
$p(A) = \frac{p(A \cap B)}{p_A(B)}$
Подставим известные значения в формулу:
$p(A) = \frac{0,2}{0,4} = 0,5$
Ответ: 0,5

2) p(B);

Аналогично, используем формулу условной вероятности события $A$ при условии $B$:
$p_B(A) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)}$
Выразим из нее вероятность $p(B)$:
$p(B) = \frac{p(A \cap B)}{p_B(A)}$
Подставим известные значения:
$p(B) = \frac{0,2}{0,7} = \frac{2}{7}$
Ответ: $\frac{2}{7}$

3) p(A ∪ B).

Для нахождения вероятности объединения событий $A$ и $B$ (вероятности наступления хотя бы одного из событий) воспользуемся теоремой сложения вероятностей:
$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$
Подставим значения, которые были найдены в пунктах 1 и 2, а также значение $p(A \cap B)$, данное в условии:
$p(A \cup B) = 0,5 + \frac{2}{7} - 0,2$
Для вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,5 = \frac{1}{2}$ и $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
$p(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{2}{7} - \frac{1}{5}$
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $2 \cdot 7 \cdot 5 = 70$:
$p(A \cup B) = \frac{1 \cdot 35}{70} + \frac{2 \cdot 10}{70} - \frac{1 \cdot 14}{70} = \frac{35}{70} + \frac{20}{70} - \frac{14}{70}$
$p(A \cup B) = \frac{35 + 20 - 14}{70} = \frac{55 - 14}{70} = \frac{41}{70}$
Ответ: $\frac{41}{70}$