Номер 34.3, страница 324 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 34. Зависимые и независимые события - номер 34.3, страница 324.

Условие.

34.3. В коробке лежат несколько шаров одного цвета: либо все красные, либо все синие. Вероятность того, что в коробке лежат красные шары, равна $\frac{1}{3}$. Из коробки наугад последовательно берут два шара.

1) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным?

2) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным, если первый вытянутый шар также оказался красным?

3) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным, если первый вытянутый шар оказался синим?

Решение.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Событие $K$ — в коробке лежат красные шары.
• Событие $С$ — в коробке лежат синие шары.

По условию, вероятность того, что в коробке лежат красные шары, равна $P(K) = \frac{1}{3}$.

Так как в коробке могут быть либо только красные, либо только синие шары, то событие $С$ является противоположным событию $K$. Вероятность того, что в коробке лежат синие шары, равна:

$P(С) = 1 - P(K) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Также введем обозначения для результатов извлечения шаров:

• $K_1$ — первый вытянутый шар красный.
• $K_2$ — второй вытянутый шар красный.
• $С_1$ — первый вытянутый шар синий.

1) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным?

Для нахождения вероятности события $K_2$ (второй шар — красный) воспользуемся формулой полной вероятности. Это событие зависит от того, какие шары изначально были в коробке (события $K$ или $С$).

Формула полной вероятности: $P(K_2) = P(K) \cdot P(K_2 | K) + P(С) \cdot P(K_2 | С)$

Рассчитаем условные вероятности:

• $P(K_2 | K)$ — вероятность вытянуть второй красный шар при условии, что в коробке все шары красные. Эта вероятность равна $1$.
• $P(K_2 | С)$ — вероятность вытянуть второй красный шар при условии, что в коробке все шары синие. Эта вероятность равна $0$.

Подставим значения в формулу:

$P(K_2) = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

2) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным, если первый вытянутый шар также оказался красным?

Нам нужно найти условную вероятность $P(K_2 | K_1)$.

Событие $K_1$ (первый вытянутый шар — красный) могло произойти только в том случае, если в коробке изначально были красные шары. Если мы вытянули красный шар, мы с вероятностью $1$ можем утверждать, что в коробке находятся только красные шары.

Следовательно, после того как мы вытянули первый красный шар, мы знаем, что все оставшиеся шары в коробке тоже красные. Поэтому вероятность того, что второй вытянутый шар также будет красным, равна $1$.

Формально это можно доказать по формуле условной вероятности: $P(K_2 | K_1) = \frac{P(K_1 \cap K_2)}{P(K_1)}$

Вероятность вытянуть первый красный шар $P(K_1) = P(K) \cdot P(K_1 | K) + P(С) \cdot P(K_1 | С) = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 = \frac{1}{3}$.

Вероятность вытянуть два красных шара подряд ($K_1 \cap K_2$) возможна только если в коробке все шары красные, то есть $P(K_1 \cap K_2) = P(K) = \frac{1}{3}$.

Тогда $P(K_2 | K_1) = \frac{1/3}{1/3} = 1$.

Ответ: $1$

3) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным, если первый вытянутый шар оказался синим?

Нам нужно найти условную вероятность $P(K_2 | С_1)$.

Если первый вытянутый шар оказался синим (событие $С_1$), это однозначно означает, что в коробке лежат только синие шары (произошло событие $С$).

Если в коробке лежат только синие шары, то вытянуть из нее красный шар (событие $K_2$) невозможно. Вероятность такого события равна нулю.

Формально, событие "первый шар синий, а второй красный" ($С_1 \cap K_2$) является невозможным, так как по условию все шары в коробке одного цвета. Следовательно, его вероятность $P(С_1 \cap K_2) = 0$.

По формуле условной вероятности:

$P(K_2 | С_1) = \frac{P(С_1 \cap K_2)}{P(С_1)} = \frac{0}{P(С_1)} = 0$

(при этом $P(С_1) = P(С) = \frac{2}{3} \neq 0$)

Ответ: $0$