Номер 33.23, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 33. Операции над событиями - номер 33.23, страница 316.

Условие.

33.23. Докажите тождество

$\left(\frac{a-2b}{a^2+2ab} - \frac{1}{a^2-4b^2} : \frac{a+2b}{(2b-a)^2}\right) : \frac{a^2-2ab}{a^2+4ab+4b^2} = \frac{2b}{a^2}$

Решение.

Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой. Выполним преобразования по действиям.

1. Упростим выражение в скобках.

Сначала выполним деление дробей внутри скобок:

$\frac{1}{a^2 - 4b^2} : \frac{a+2b}{(2b-a)^2}$

Для этого разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ и учтем, что $(2b-a)^2 = (-(a-2b))^2 = (a-2b)^2$. Затем заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{1}{(a-2b)(a+2b)} \cdot \frac{(a-2b)^2}{a+2b} = \frac{(a-2b)^2}{(a-2b)(a+2b)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-2b)$:

$\frac{a-2b}{(a+2b)^2}$

Теперь выполним вычитание в скобках:

$\frac{a-2b}{a^2+2ab} - \frac{a-2b}{(a+2b)^2}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $a^2+2ab = a(a+2b)$.

$\frac{a-2b}{a(a+2b)} - \frac{a-2b}{(a+2b)^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $a(a+2b)^2$:

$\frac{(a-2b)(a+2b)}{a(a+2b)^2} - \frac{a(a-2b)}{a(a+2b)^2} = \frac{(a-2b)(a+2b) - a(a-2b)}{a(a+2b)^2}$

Вынесем в числителе общий множитель $(a-2b)$ за скобки:

$\frac{(a-2b)((a+2b)-a)}{a(a+2b)^2} = \frac{(a-2b) \cdot 2b}{a(a+2b)^2} = \frac{2b(a-2b)}{a(a+2b)^2}$

2. Упростим делитель.

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби $\frac{a^2-2ab}{a^2+4ab+4b^2}$.

Числитель: $a^2-2ab = a(a-2b)$.

Знаменатель: $a^2+4ab+4b^2 = (a+2b)^2$ (формула квадрата суммы).

Получаем дробь: $\frac{a(a-2b)}{(a+2b)^2}$.

3. Выполним последнее деление.

Разделим результат первого действия на результат второго:

$\frac{2b(a-2b)}{a(a+2b)^2} : \frac{a(a-2b)}{(a+2b)^2} = \frac{2b(a-2b)}{a(a+2b)^2} \cdot \frac{(a+2b)^2}{a(a-2b)}$

Сократим общие множители $(a-2b)$ и $(a+2b)^2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2b \cdot \cancel{(a-2b)}}{a \cdot \cancel{(a+2b)^2}} \cdot \frac{\cancel{(a+2b)^2}}{a \cdot \cancel{(a-2b)}} = \frac{2b}{a \cdot a} = \frac{2b}{a^2}$

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равна правой части: $\frac{2b}{a^2} = \frac{2b}{a^2}$.

Ответ: Тождество доказано.