Номер 33.20, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 33. Операции над событиями - номер 33.20, страница 316.

Условие.

33.20. В неисправной люстре поменяли на новые выключатель и лампочку. Вероятность того, что лампочка проработает не менее года, составляет 0,95, а выключатель — 0,97. Кроме того, известно, что с вероятностью 0,01 в течение года могут выйти из строя и лампа, и выключатель одновременно. Какова вероятность того, что в течение года придётся заменить:

1) только лампочку;

2) только выключатель;

3) лампочку или выключатель;

4) ровно один из двух новых элементов люстры?

Решение.

Для решения задачи введем обозначения событий:
$A$ – событие, состоящее в том, что лампочка проработает не менее года.
$B$ – событие, состоящее в том, что выключатель проработает не менее года.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:
$P(A) = 0,95$
$P(B) = 0,97$

Найдем вероятности противоположных событий (то есть выхода элементов из строя в течение года):
$\bar{A}$ – лампочка выйдет из строя. Вероятность этого события: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,95 = 0,05$.
$\bar{B}$ – выключатель выйдет из строя. Вероятность этого события: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,97 = 0,03$.

Также по условию известно, что вероятность одновременного выхода из строя и лампы, и выключателя равна 0,01. Это вероятность совместного наступления событий $\bar{A}$ и $\bar{B}$ (их пересечения):
$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,01$.

1) только лампочку;

Требуется найти вероятность того, что выйдет из строя только лампочка. Это означает, что лампочка выйдет из строя (событие $\bar{A}$), а выключатель продолжит работать (событие $B$). Искомая вероятность – $P(\bar{A} \cap B)$.
Событие $\bar{A}$ (выход из строя лампочки) состоит из двух несовместных исходов: "лампочка вышла из строя, а выключатель работает" ($\bar{A} \cap B$) и "вышли из строя оба элемента" ($\bar{A} \cap \bar{B}$).
Следовательно, можно записать равенство: $P(\bar{A}) = P(\bar{A} \cap B) + P(\bar{A} \cap \bar{B})$.
Подставим известные значения и выразим искомую вероятность:
$0,05 = P(\bar{A} \cap B) + 0,01$
$P(\bar{A} \cap B) = 0,05 - 0,01 = 0,04$.
Ответ: 0,04

2) только выключатель;

Требуется найти вероятность того, что выйдет из строя только выключатель. Это означает, что выключатель выйдет из строя (событие $\bar{B}$), а лампочка продолжит работать (событие $A$). Искомая вероятность – $P(A \cap \bar{B})$.
Аналогично предыдущему пункту, событие $\bar{B}$ (выход из строя выключателя) состоит из двух несовместных исходов: "выключатель вышел из строя, а лампочка работает" ($A \cap \bar{B}$) и "вышли из строя оба элемента" ($\bar{A} \cap \bar{B}$).
Отсюда: $P(\bar{B}) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap \bar{B})$.
Подставим известные значения:
$0,03 = P(A \cap \bar{B}) + 0,01$
$P(A \cap \bar{B}) = 0,03 - 0,01 = 0,02$.
Ответ: 0,02

3) лампочку или выключатель;

Требуется найти вероятность того, что выйдет из строя лампочка или выключатель (то есть хотя бы один из двух элементов). Это вероятность объединения событий $\bar{A}$ и $\bar{B}$, то есть $P(\bar{A} \cup \bar{B})$.
Используем формулу сложения вероятностей для совместных событий:
$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\bar{A}) + P(\bar{B}) - P(\bar{A} \cap \bar{B})$
$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0,05 + 0,03 - 0,01 = 0,07$.
Ответ: 0,07

4) ровно один из двух новых элементов люстры?

Требуется найти вероятность того, что выйдет из строя ровно один из двух элементов. Это событие представляет собой объединение двух несовместных событий: "вышла из строя только лампочка" и "вышел из строя только выключатель".
Вероятности этих событий были найдены в пунктах 1 и 2. Чтобы найти искомую вероятность, нужно их сложить:
$P(\text{ровно один}) = P(\bar{A} \cap B) + P(A \cap \bar{B})$
$P(\text{ровно один}) = 0,04 + 0,02 = 0,06$.
Ответ: 0,06