Номер 33.21, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 33. Операции над событиями - номер 33.21, страница 316.

Условие.

33.21. Петя и Андрей пришли на озеро ловить рыбу. Вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом, у Пети равна $50\%$, а у Андрея — $60\%$. Вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом хотя бы у одного из мальчиков, равна $65\%$.

Какова вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом:

1) и у Пети, и у Андрея;

2) только у Пети;

3) только у Андрея;

4) только у одного из мальчиков?

Решение.

Для решения задачи введем обозначения для событий:

Событие $A$ – первая пойманная рыба у Пети окажется карпом.

Событие $B$ – первая пойманная рыба у Андрея окажется карпом.

По условию задачи, нам известны следующие вероятности, выраженные в виде десятичных дробей:

$P(A) = 50\% = 0.5$

$P(B) = 60\% = 0.6$

Вероятность того, что первая пойманная рыба окажется карпом хотя бы у одного из мальчиков, – это вероятность объединения событий $A$ и $B$.

$P(A \cup B) = 65\% = 0.65$

1) и у Пети, и у Андрея;

Требуется найти вероятность того, что карпа поймают оба мальчика, то есть вероятность пересечения событий $A$ и $B$, обозначаемую как $P(A \cap B)$.

Для нахождения этой вероятности воспользуемся формулой сложения вероятностей для совместных событий: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Выразим из этой формулы искомую вероятность пересечения:

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

Подставим известные значения:

$P(A \cap B) = 0.5 + 0.6 - 0.65 = 1.1 - 0.65 = 0.45$

Таким образом, вероятность того, что оба мальчика поймают карпа, равна 45%.

Ответ: 45%

2) только у Пети;

Событие "карпа поймал только Петя" означает, что событие $A$ произошло, а событие $B$ не произошло. Вероятность этого события можно найти, вычитая из вероятности события $A$ вероятность совместного наступления событий $A$ и $B$:

$P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B)$

Подставим значения, используя результат из первого пункта:

$P(A \setminus B) = 0.5 - 0.45 = 0.05$

Вероятность того, что карпа поймает только Петя, равна 5%.

Ответ: 5%

3) только у Андрея;

Аналогично предыдущему пункту, событие "карпа поймал только Андрей" означает, что событие $B$ произошло, а событие $A$ не произошло. Его вероятность равна:

$P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B)$

Подставим известные значения:

$P(B \setminus A) = 0.6 - 0.45 = 0.15$

Вероятность того, что карпа поймает только Андрей, равна 15%.

Ответ: 15%

4) только у одного из мальчиков?

Событие "карпа поймал только один из мальчиков" является объединением двух несовместных событий: "карпа поймал только Петя" и "карпа поймал только Андрей". Поэтому вероятность этого события равна сумме их вероятностей, которые мы нашли в пунктах 2 и 3.

$P(\text{только один}) = P(A \setminus B) + P(B \setminus A)$

$P(\text{только один}) = 0.05 + 0.15 = 0.20$

Вероятность того, что карпа поймает только один из мальчиков, равна 20%.

Ответ: 20%