Номер 33.22, страница 316 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 33. Операции над событиями - номер 33.22, страница 316.

Условие.

33.22. Упростите выражение $ \sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 - y^2}} $, если $ x \ge y > 0 $.

Решение.

Для упрощения данного выражения, которое представляет собой вложенный радикал, мы попытаемся представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Будем использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае мы ищем представление вида $(\sqrt{A} + \sqrt{B})^2 = A + B + 2\sqrt{AB}$.

Рассмотрим выражение под внешним корнем: $2x + 2\sqrt{x^2 - y^2}$. Мы хотим найти такие неотрицательные числа $A$ и $B$, чтобы выполнялись следующие условия:
1) $A + B = 2x$
2) $AB = x^2 - y^2$

Разложим второе выражение на множители: $AB = (x-y)(x+y)$. Можно предположить, что $A = x+y$ и $B = x-y$. Проверим, выполняется ли первое условие при таком выборе:
$A + B = (x+y) + (x-y) = 2x$.
Условие выполняется.

Из условия задачи $x \ge y > 0$ следует, что:
$x+y > 0$
$x-y \ge 0$
Следовательно, наши предположения для $A$ и $B$ корректны, так как оба выражения неотрицательны.

Теперь мы можем переписать подкоренное выражение как полный квадрат:
$2x + 2\sqrt{x^2 - y^2} = (x+y) + (x-y) + 2\sqrt{(x+y)(x-y)} = (\sqrt{x+y} + \sqrt{x-y})^2$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:
$\sqrt{2x + 2\sqrt{x^2 - y^2}} = \sqrt{(\sqrt{x+y} + \sqrt{x-y})^2}$.

Так как $\sqrt{z^2} = |z|$, то:
$\sqrt{(\sqrt{x+y} + \sqrt{x-y})^2} = |\sqrt{x+y} + \sqrt{x-y}|$.

Поскольку $x+y > 0$ и $x-y \ge 0$, то $\sqrt{x+y}$ и $\sqrt{x-y}$ являются вещественными неотрицательными числами. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна, поэтому модуль можно опустить.
$|\sqrt{x+y} + \sqrt{x-y}| = \sqrt{x+y} + \sqrt{x-y}$.

Ответ: $\sqrt{x+y} + \sqrt{x-y}$