Вопросы?, страница 323 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 34. Зависимые и независимые события - страница 323.

Условие.

1. Что называют условной вероятностью?

2. Какую диаграмму удобно использовать для иллюстрации задач на вычисление условных вероятностей?

3. Какие два события называют независимыми?

4. Какие два события называют зависимыми?

5. Как найти вероятность пересечения независимых событий?

6. По какой формуле можно найти вероятность пересечения двух зависимых событий?

Решение.

1. Что называют условной вероятностью?

Условной вероятностью события $A$ при условии, что произошло событие $B$ (с ненулевой вероятностью), называют отношение вероятности пересечения (совместного наступления) этих событий к вероятности события $B$. Иными словами, это вероятность наступления события $A$, вычисленная в предположении, что событие $B$ уже произошло.

Обозначается условная вероятность как $P(A|B)$ или $P_B(A)$ и читается как "вероятность $A$ при условии $B$".

Формула для вычисления условной вероятности:
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, где $P(B) > 0$.

Ответ: Условная вероятность $P(A|B)$ - это вероятность события $A$, вычисленная при условии, что событие $B$ уже произошло.

2. Какую диаграмму удобно использовать для иллюстрации задач на вычисление условных вероятностей?

Для иллюстрации задач на вычисление условных вероятностей наиболее удобной диаграммой является дерево вероятностей (или дерево событий).

Эта диаграмма наглядно представляет последовательность событий и их вероятности. Каждая ветвь дерева соответствует определенному исходу, а числа на ветвях — вероятностям этих исходов. Вероятности на ветвях второго и последующих уровней являются условными, так как они зависят от исходов на предыдущих уровнях. Также для иллюстрации можно использовать диаграммы Венна, которые показывают пересечение множеств, соответствующее совместному наступлению событий.

Ответ: Дерево вероятностей.

3. Какие два события называют независимыми?

Два события $A$ и $B$ называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. То есть, информация о том, что событие $B$ произошло, никак не влияет на вероятность события $A$.

Математически это выражается одним из следующих эквивалентных условий:
- Условная вероятность $A$ при условии $B$ равна безусловной вероятности $A$: $P(A|B) = P(A)$.
- Условная вероятность $B$ при условии $A$ равна безусловной вероятности $B$: $P(B|A) = P(B)$.
- Вероятность их совместного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Ответ: Два события называют независимыми, если вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей.

4. Какие два события называют зависимыми?

Два события $A$ и $B$ называют зависимыми, если наступление одного из них изменяет вероятность наступления другого. Например, если вероятность события $A$ меняется в зависимости от того, произошло ли событие $B$, то эти события зависимы.

События являются зависимыми, если они не являются независимыми. Математически это означает, что нарушается равенство для независимых событий:
$P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$.
Это также эквивалентно тому, что $P(A|B) \neq P(A)$ или $P(B|A) \neq P(B)$.

Ответ: Два события называют зависимыми, если наступление одного из них влияет на вероятность наступления другого.

5. Как найти вероятность пересечения независимых событий?

Вероятность пересечения (совместного наступления) двух независимых событий $A$ и $B$ находится по формуле умножения вероятностей. Она равна произведению вероятностей этих событий.

Формула:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Это правило называется теоремой умножения вероятностей для независимых событий.

Ответ: Вероятность пересечения независимых событий равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

6. По какой формуле можно найти вероятность пересечения двух зависимых событий?

Вероятность пересечения двух зависимых событий $A$ и $B$ находится по общей теореме умножения вероятностей. Она равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло.

Формула имеет два эквивалентных вида:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$
или
$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$.

Эта формула является следствием определения условной вероятности.

Ответ: По формуле $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$ или $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$.