Номер 37.12, страница 346 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 37. Случайные величины - номер 37.12, страница 346.

Условие.

37.12. Монету подбрасывают не больше 6 раз до тех пор, пока первый раз не выпадет герб, и записывают, сколько раз пришлось подбросить монету. Составьте таблицу распределения вероятностей изучаемой случайной величины.

Решение.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству подбрасываний монеты до первого выпадения герба. Эксперимент проводится не более 6 раз. Это означает, что случайная величина $X$ может принимать целые значения от 1 до 6.

Предполагается, что монета симметрична, то есть вероятность выпадения герба (Г) равна вероятности выпадения решки (Р) и составляет $1/2$.

$P(Г) = 1/2$, $P(Р) = 1/2$.

Найдем вероятности для каждого возможного значения случайной величины $X$.

1. Вероятность того, что $X=1$

Это событие наступает, если герб выпадает при первом же подбрасывании. Последовательность исходов: (Г).

Вероятность этого события: $P(X=1) = P(Г) = 1/2$.

2. Вероятность того, что $X=2$

Это событие наступает, если при первом подбрасывании выпадает решка, а при втором — герб. Последовательность исходов: (Р, Г).

Вероятность этого события: $P(X=2) = P(Р) \cdot P(Г) = 1/2 \cdot 1/2 = 1/4$.

3. Вероятность того, что $X=3$

Это событие наступает, если первые два раза выпадает решка, а на третий раз — герб. Последовательность исходов: (Р, Р, Г).

Вероятность этого события: $P(X=3) = P(Р) \cdot P(Р) \cdot P(Г) = (1/2)^2 \cdot 1/2 = 1/8$.

4. Вероятность того, что $X=4$

Это событие наступает, если первые три раза выпадает решка, а на четвертый — герб. Последовательность исходов: (Р, Р, Р, Г).

Вероятность этого события: $P(X=4) = (1/2)^3 \cdot 1/2 = 1/16$.

5. Вероятность того, что $X=5$

Это событие наступает, если первые четыре раза выпадает решка, а на пятый — герб. Последовательность исходов: (Р, Р, Р, Р, Г).

Вероятность этого события: $P(X=5) = (1/2)^4 \cdot 1/2 = 1/32$.

6. Вероятность того, что $X=6$

Согласно условию, эксперимент прекращается после 6-го подбрасывания, даже если герб так и не выпал. Событие $X=6$ наступает в том случае, если в первых пяти подбрасываниях герб не выпал. То есть, первые пять раз выпала решка. После этого совершается шестое подбрасывание, и эксперимент завершается. Таким образом, для наступления события $X=6$ необходимо и достаточно, чтобы первые 5 бросков были решками.

Вероятность этого события: $P(X=6) = (1/2)^5 = 1/32$.

Для проверки убедимся, что сумма всех найденных вероятностей равна 1:

$\sum_{i=1}^{6} P(X=i) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} + \frac{8}{32} + \frac{4}{32} + \frac{2}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16+8+4+2+1+1}{32} = \frac{32}{32} = 1$.

Сумма вероятностей равна 1, следовательно, распределение найдено верно.

Составим таблицу распределения вероятностей для данной случайной величины.

Ответ:

Значение $X$ ($x_i$)	1	2	3	4	5	6
Вероятность $P(X=x_i)$ ($p_i$)	$1/2$	$1/4$	$1/8$	$1/16$	$1/32$	$1/32$