Номер 38.3, страница 355 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 38. Характеристики случайной величины - номер 38.3, страница 355.

Условие.

38.3. Случайная величина $x$ равна количеству препаратов, проданных аптекой одному покупателю за одну покупку. Известно, что $p(x=k) = c(4k - k^2)$ для всех $k = 0, 1, 2, 3, 4$. Найдите математическое ожидание количества препаратов, проданных аптекой одному покупателю за одну покупку.

Решение.

Пусть $x$ — случайная величина, равная количеству препаратов, проданных аптекой одному покупателю за одну покупку. Возможные значения, которые может принимать $x$, это $k = 0, 1, 2, 3, 4$.

Вероятность того, что будет продано $k$ препаратов, задаётся формулой $p(x = k) = c(4k - k^2)$, где $c$ — некоторая константа.

Для нахождения математического ожидания $E(x)$ необходимо сначала определить значение константы $c$. Для любой дискретной случайной величины сумма вероятностей всех её возможных значений равна единице.

$\sum_{k=0}^{4} p(x=k) = 1$

Вычислим значения вероятностей для каждого возможного $k$:

• $p(x=0) = c(4 \cdot 0 - 0^2) = c \cdot 0 = 0$
• $p(x=1) = c(4 \cdot 1 - 1^2) = c(4 - 1) = 3c$
• $p(x=2) = c(4 \cdot 2 - 2^2) = c(8 - 4) = 4c$
• $p(x=3) = c(4 \cdot 3 - 3^2) = c(12 - 9) = 3c$
• $p(x=4) = c(4 \cdot 4 - 4^2) = c(16 - 16) = 0$

Теперь просуммируем эти вероятности и приравняем сумму к единице, чтобы найти $c$:

$p(x=0) + p(x=1) + p(x=2) + p(x=3) + p(x=4) = 1$

$0 + 3c + 4c + 3c + 0 = 1$

$10c = 1$

$c = \frac{1}{10}$

Теперь, зная значение $c$, мы можем найти числовые значения вероятностей:

• $p(x=0) = 0$
• $p(x=1) = 3 \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$
• $p(x=2) = 4 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4}{10}$
• $p(x=3) = 3 \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{10}$
• $p(x=4) = 0$

Математическое ожидание $E(x)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$E(x) = \sum_{k} k \cdot p(x=k)$

Подставим наши значения $k$ и соответствующие им вероятности:

$E(x) = 0 \cdot p(x=0) + 1 \cdot p(x=1) + 2 \cdot p(x=2) + 3 \cdot p(x=3) + 4 \cdot p(x=4)$

$E(x) = (0 \cdot 0) + (1 \cdot \frac{3}{10}) + (2 \cdot \frac{4}{10}) + (3 \cdot \frac{3}{10}) + (4 \cdot 0)$

$E(x) = 0 + \frac{3}{10} + \frac{8}{10} + \frac{9}{10} + 0$

$E(x) = \frac{3 + 8 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$

Таким образом, математическое ожидание количества препаратов, проданных аптекой одному покупателю за одну покупку, равно 2.

Ответ: 2