Номер 38.10, страница 356 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 38. Характеристики случайной величины - номер 38.10, страница 356.

Условие.

38.10. Найдите дисперсию случайной величины, равной количеству очков, выпавших при однократном подбрасывании игрального кубика. Ответ округлите до сотых.

Решение.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству очков, выпавших при однократном подбрасывании игрального кубика. Возможные значения этой случайной величины: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Поскольку игральный кубик считается правильным (симметричным), вероятность выпадения каждой из шести граней одинакова и равна $p = \frac{1}{6}$.

Дисперсия случайной величины $X$, обозначаемая как $D(X)$, вычисляется по формуле:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

где $M(X)$ — математическое ожидание случайной величины $X$, а $M(X^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины $X^2$.

1. Найдем математическое ожидание $M(X)$.

Математическое ожидание для дискретной случайной величины находится как сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

$M(X) = \sum_{i=1}^{6} x_i p_i = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$

$M(X) = \frac{1}{6} (1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = 3.5$

2. Найдем математическое ожидание $M(X^2)$.

Для этого сначала определим возможные значения случайной величины $X^2$. Это квадраты возможных значений $X$: $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$. Вероятность каждого из этих значений также равна $\frac{1}{6}$.

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{6} x_i^2 p_i = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6}$

$M(X^2) = \frac{1}{6} (1+4+9+16+25+36) = \frac{91}{6}$

3. Вычислим дисперсию $D(X)$.

Подставим найденные значения $M(X)$ и $M(X^2)$ в формулу для дисперсии:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{91}{6} - 12.25$

Для удобства вычислений представим $3.5$ как дробь $\frac{7}{2}$:

$D(X) = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$D(X) = \frac{91 \cdot 2}{12} - \frac{49 \cdot 3}{12} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

4. Округлим ответ до сотых.

Теперь переведем полученную дробь в десятичный вид и округлим результат до двух знаков после запятой, как требуется в условии.

$D(X) = \frac{35}{12} \approx 2.91666...$

Округляя до сотых, получаем $2.92$.

Ответ: 2,92