Номер 38.6, страница 355 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 38. Характеристики случайной величины - номер 38.6, страница 355.

Условие.

38.6. Фермер, выращивающий горох, сомневается, использовать ли ему семена нового сорта. Цена семян нового сорта такова, что их имеет смысл использовать только в том случае, если урожайность гороха увеличится на 10%. Собрав урожай с двух экспериментальных участков, фермер оценил распределение количества горошин в стручке старого и нового сортов. Стоит ли фермеру использовать семена нового сорта?

Количество горошин в стручке гороха нового сорта	2	3	4	5	6	7	8
Вероятность для гороха старого сорта, %	11	14	19	26	21	6	3
Вероятность для гороха нового сорта, %	2	8	18	21	25	22	4

Решение.

Для того чтобы определить, стоит ли фермеру использовать семена нового сорта, необходимо сравнить ожидаемую (среднюю) урожайность обоих сортов. Будем считать, что урожайность прямо пропорциональна среднему количеству горошин в стручке. Для этого найдем математическое ожидание количества горошин в стручке для старого и нового сортов.

Математическое ожидание $E$ для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$E = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$,

где $x_i$ — значение случайной величины (количество горошин), а $p_i$ — соответствующая этому значению вероятность (в долях единицы).

1. Расчет математического ожидания для гороха старого сорта ($E_{старый}$)

Вероятности, указанные в процентах, переведем в доли единицы.

$E_{старый} = 2 \cdot 0.11 + 3 \cdot 0.14 + 4 \cdot 0.19 + 5 \cdot 0.26 + 6 \cdot 0.21 + 7 \cdot 0.06 + 8 \cdot 0.03$

$E_{старый} = 0.22 + 0.42 + 0.76 + 1.30 + 1.26 + 0.42 + 0.24 = 4.62$

Среднее количество горошин в стручке старого сорта составляет 4.62.

2. Расчет математического ожидания для гороха нового сорта ($E_{новый}$)

Аналогично рассчитаем для нового сорта:

$E_{новый} = 2 \cdot 0.02 + 3 \cdot 0.08 + 4 \cdot 0.18 + 5 \cdot 0.21 + 6 \cdot 0.25 + 7 \cdot 0.22 + 8 \cdot 0.04$

$E_{новый} = 0.04 + 0.24 + 0.72 + 1.05 + 1.50 + 1.54 + 0.32 = 5.41$

Среднее количество горошин в стручке нового сорта составляет 5.41.

3. Сравнение урожайности и принятие решения

По условию, использование семян нового сорта имеет смысл, если урожайность увеличится на 10%. Сравним средние значения и найдем процентное увеличение урожайности:

$\text{Прирост урожайности} = \frac{E_{новый} - E_{старый}}{E_{старый}} \cdot 100\%$

$\text{Прирост урожайности} = \frac{5.41 - 4.62}{4.62} \cdot 100\% = \frac{0.79}{4.62} \cdot 100\% \approx 0.170995... \cdot 100\% \approx 17.1\%$

Полученный прирост урожайности ($17.1\%$) больше требуемых $10\%$. Следовательно, фермеру выгодно использовать семена нового сорта.

Ответ: да, фермеру стоит использовать семена нового сорта, так как ожидаемый прирост урожайности составляет около $17.1\%$, что превышает необходимые $10\%$.