Номер 38.4, страница 355 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 38. Характеристики случайной величины - номер 38.4, страница 355.

Условие.

38.4. Случайная величина $y$ равна количеству школьников на очередном занятии математического кружка. Известно, что $p(y = k) = ak^2$ для всех $k = 4, 5, 6, 7, 8$. Найдите математическое ожидание количества школьников на занятии математического кружка.

Решение.

Пусть $y$ — случайная величина, равная количеству школьников на занятии. Возможные значения $y$: $k \in \{4, 5, 6, 7, 8\}$. Вероятность того, что случайная величина $y$ примет значение $k$, задается формулой $p(y = k) = ak^2$.

1. Нахождение коэффициента $a$

По определению, сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице: $$ \sum_{k=4}^{8} p(y=k) = 1 $$ Подставим в это равенство данную в условии формулу вероятности: $$ p(y=4) + p(y=5) + p(y=6) + p(y=7) + p(y=8) = 1 $$ $$ a \cdot 4^2 + a \cdot 5^2 + a \cdot 6^2 + a \cdot 7^2 + a \cdot 8^2 = 1 $$ Вынесем константу $a$ за скобки: $$ a (4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2) = 1 $$ Вычислим сумму квадратов в скобках: $$ 16 + 25 + 36 + 49 + 64 = 190 $$ Получаем уравнение для $a$: $$ a \cdot 190 = 1 $$ Отсюда находим значение коэффициента $a$: $$ a = \frac{1}{190} $$

2. Нахождение математического ожидания

Математическое ожидание $E(y)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле: $$ E(y) = \sum_{k} k \cdot p(y=k) $$ Для нашей задачи: $$ E(y) = \sum_{k=4}^{8} k \cdot p(y=k) = 4 \cdot p(y=4) + 5 \cdot p(y=5) + 6 \cdot p(y=6) + 7 \cdot p(y=7) + 8 \cdot p(y=8) $$ Подставим формулу $p(y=k) = ak^2$: $$ E(y) = 4(a \cdot 4^2) + 5(a \cdot 5^2) + 6(a \cdot 6^2) + 7(a \cdot 7^2) + 8(a \cdot 8^2) $$ $$ E(y) = a(4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3) $$ Вычислим сумму кубов: $$ 64 + 125 + 216 + 343 + 512 = 1260 $$ Теперь подставим найденные значения $a = \frac{1}{190}$ и суммы кубов в формулу для математического ожидания: $$ E(y) = \frac{1}{190} \cdot 1260 $$ Сократим полученную дробь: $$ E(y) = \frac{1260}{190} = \frac{126}{19} $$ Математическое ожидание количества школьников на занятии равно $\frac{126}{19}$ или $6\frac{12}{19}$.

Ответ: $\frac{126}{19}$