Номер 38.9, страница 356 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 38. Характеристики случайной величины - номер 38.9, страница 356.

Условие.

33.9. Чему равно математическое ожидание количества выпавших гербов при подбрасывании семи монет? Подтвердите ответ расчётом, основанным на определении математического ожидания.

Решение.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству выпавших гербов при подбрасывании семи монет. Возможные значения, которые может принимать $X$, это целые числа от 0 до 7.

Математическое ожидание $E(X)$ для дискретной случайной величины определяется как сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности:$E(X) = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(X=k)$,где $n$ — количество подбрасываемых монет (в нашем случае $n=7$), $k$ — количество выпавших гербов, а $P(X=k)$ — вероятность того, что выпадет ровно $k$ гербов.

Подбрасывание семи монет — это серия из 7 независимых испытаний (схема Бернулли). Вероятность выпадения герба в одном испытании ("успех") равна $p = \frac{1}{2}$, а вероятность выпадения решки ("неудача") — $q = 1 - p = \frac{1}{2}$.

Вероятность того, что при 7 подбрасываниях выпадет ровно $k$ гербов, находится по формуле Бернулли:$P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k} = C_7^k \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(\frac{1}{2}\right)^{7-k} = C_7^k \left(\frac{1}{2}\right)^7$. Общее число всех возможных исходов при подбрасывании 7 монет равно $2^7 = 128$. Таким образом, $P(X=k) = \frac{C_7^k}{128}$, где $C_7^k = \frac{7!}{k!(7-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

Теперь вычислим математическое ожидание, используя его определение:$E(X) = \sum_{k=0}^{7} k \cdot P(X=k) = \sum_{k=0}^{7} k \cdot \frac{C_7^k}{128}$

Распишем сумму:$E(X) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4) + 5 \cdot P(X=5) + 6 \cdot P(X=6) + 7 \cdot P(X=7)$

Вычислим значения биномиальных коэффициентов $C_7^k$:
$C_7^0 = 1$
$C_7^1 = 7$
$C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$
$C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$
$C_7^4 = C_7^3 = 35$
$C_7^5 = C_7^2 = 21$
$C_7^6 = C_7^1 = 7$
$C_7^7 = C_7^0 = 1$

Подставим значения в формулу для $E(X)$:
$E(X) = \frac{1}{128} (0 \cdot C_7^0 + 1 \cdot C_7^1 + 2 \cdot C_7^2 + 3 \cdot C_7^3 + 4 \cdot C_7^4 + 5 \cdot C_7^5 + 6 \cdot C_7^6 + 7 \cdot C_7^7)$
$E(X) = \frac{1}{128} (0 \cdot 1 + 1 \cdot 7 + 2 \cdot 21 + 3 \cdot 35 + 4 \cdot 35 + 5 \cdot 21 + 6 \cdot 7 + 7 \cdot 1)$
$E(X) = \frac{1}{128} (0 + 7 + 42 + 105 + 140 + 105 + 42 + 7)$
$E(X) = \frac{448}{128}$

Упростим полученное выражение:$E(X) = \frac{448}{128} = \frac{224}{64} = \frac{112}{32} = \frac{56}{16} = \frac{7}{2} = 3.5$

Таким образом, расчёт, основанный на определении математического ожидания, показывает, что в среднем при подбрасывании семи монет будет выпадать 3.5 герба.

Ответ: $3.5$.