Номер 38.12, страница 356 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 38. Характеристики случайной величины - номер 38.12, страница 356.

Условие.

38.12. Числа $p$ и $p^{p+1} + 2$ — простые. Найдите $p$.

Решение.

По условию задачи, $p$ и $p^{p+1} + 2$ — простые числа. Проверим возможные значения простого числа $p$.

1. Пусть $p = 2$. Это наименьшее простое число. Тогда второе число равно $2^{2+1} + 2 = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$. Число 10 является составным, так как $10 = 2 \cdot 5$. Следовательно, $p=2$ не является решением.

2. Пусть $p = 3$. Это простое число. Тогда второе число равно $3^{3+1} + 2 = 3^4 + 2 = 81 + 2 = 83$. Число 83 является простым, так как оно не делится ни на одно простое число до $\sqrt{83} \approx 9.1$ (т.е. на 2, 3, 5, 7). Значит, $p=3$ является решением.

3. Пусть $p$ — простое число, большее 3 (например, $p = 5, 7, 11, \ldots$). Любое такое число не делится на 3. Также, так как $p > 2$, $p$ является нечетным числом, а значит, показатель степени $p+1$ — четное число.

Рассмотрим остаток от деления числа $p^{p+1} + 2$ на 3. Поскольку $p$ не делится на 3, его остаток при делении на 3 равен либо 1, либо 2. В обоих случаях квадрат числа, $p^2$, дает в остатке 1 при делении на 3:
Если $p \equiv 1 \pmod{3}$, то $p^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
Если $p \equiv 2 \pmod{3}$, то $p^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Так как $p+1$ — четное число, его можно представить в виде $p+1=2k$ для некоторого натурального числа $k$. Тогда $p^{p+1} = p^{2k} = (p^2)^k$.

Поскольку $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$, то $p^{p+1} = (p^2)^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{3}$.

Теперь найдем остаток от деления на 3 для всего выражения $p^{p+1} + 2$:

$p^{p+1} + 2 \equiv 1 + 2 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3}$.

Это означает, что для любого простого числа $p > 3$ число $p^{p+1} + 2$ делится на 3. При этом, так как $p \ge 5$, то $p^{p+1} + 2$ заведомо больше 3. Любое число, которое больше 3 и делится на 3, является составным. Следовательно, для $p > 3$ решений нет.

Таким образом, единственным решением является $p = 3$.

Ответ: 3.