Номер 38.8, страница 356 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы статистики и теории вероятностей. Параграф 38. Характеристики случайной величины - номер 38.8, страница 356.

Условие.

38.8. Чему равно математическое ожидание количества выпавших пятёрок при подбрасывании трёх игральных кубиков? Подтвердите ответ расчётом, основанным на определении математического ожидания.

Решение.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству выпавших пятёрок при подбрасывании трёх игральных кубиков. Возможные значения для $X$: 0, 1, 2, 3.

Для одного игрального кубика вероятность выпадения пятёрки составляет $p = \frac{1}{6}$, а вероятность невыпадения пятёрки — $q = 1 - p = \frac{5}{6}$.

Так как броски трёх кубиков являются независимыми событиями, мы можем рассчитать вероятность для каждого возможного количества выпавших пятёрок, используя формулу Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $n=3$ — общее количество бросков, а $k$ — количество выпавших пятёрок.

Вычислим вероятности для каждого значения $k$:

• Вероятность того, что пятёрка не выпадет ни разу ($k=0$):
  $P(X=0) = C_3^0 (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^3 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{125}{216} = \frac{125}{216}$
• Вероятность того, что пятёрка выпадет ровно один раз ($k=1$):
  $P(X=1) = C_3^1 (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^2 = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{25}{36} = \frac{75}{216}$
• Вероятность того, что пятёрка выпадет ровно два раза ($k=2$):
  $P(X=2) = C_3^2 (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^1 = 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{216}$
• Вероятность того, что пятёрка выпадет все три раза ($k=3$):
  $P(X=3) = C_3^3 (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^0 = 1 \cdot \frac{1}{216} \cdot 1 = \frac{1}{216}$

Согласно определению, математическое ожидание $E(X)$ дискретной случайной величины — это сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности:

$E(X) = \sum_{i=0}^{3} x_i P(X=x_i) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3)$

Подставим вычисленные значения вероятностей:

$E(X) = 0 \cdot \frac{125}{216} + 1 \cdot \frac{75}{216} + 2 \cdot \frac{15}{216} + 3 \cdot \frac{1}{216}$

$E(X) = 0 + \frac{75}{216} + \frac{30}{216} + \frac{3}{216} = \frac{75 + 30 + 3}{216} = \frac{108}{216}$

Сокращая полученную дробь, находим окончательный результат:

$E(X) = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: $0.5$