Номер §2, страница 362 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §2, страница 362.

Условие.

К § 2 «Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции»

Функция задана таблично. Запишите алгоритм для поиска промежутков знакопостоянства и алгоритм для поиска промежутков возрастания и убывания функции. Можно ли составить такой алгоритм для других способов задания функции? Почему?

Предположим, что у вас есть подпрограмма, позволяющая вычислить значение некоторой функции в любой точке. Можно ли с помощью этой подпрограммы найти все нули этой функции? Сделайте вывод об особенностях решения уравнений с помощью компьютера. Найдите в Интернете информацию о численных методах решения уравнений.

Решение.

Функция задана таблично. Запишите алгоритм для поиска промежутков знакопостоянства и алгоритм для поиска промежутков возрастания и убывания функции.

Пусть функция задана таблицей, состоящей из пар $(x_i, y_i)$, где $i$ изменяется от 1 до $N$, и значения $x_i$ упорядочены по возрастанию: $x_1 < x_2 < ... < x_N$.

Алгоритм для поиска промежутков знакопостоянства:

1. Начать просмотр таблицы с первой точки $(x_1, y_1)$.
2. Определить знак значения $y_1$ (положительный, отрицательный или ноль). Запомнить начальную точку промежутка $x_{start} = x_1$.
3. Перебирать последующие точки $(x_i, y_i)$ для $i = 2, 3, ..., N$.
4. Для каждой точки $x_i$:
   • Если знак $y_i$ совпадает со знаком предыдущего значения $y_{i-1}$, то мы находимся в том же промежутке знакопостоянства.
   • Если знак $y_i$ отличается от знака $y_{i-1}$ или $y_i=0$, то промежуток знакопостоянства, начавшийся в $x_{start}$, закончился на $x_{i-1}$. Записываем этот промежуток $(x_{start}, x_{i-1})$. Новой начальной точкой $x_{start}$ становится $x_i$.
5. После прохода по всем точкам, записать последний промежуток от последней сохраненной точки $x_{start}$ до $x_N$.
6. Точки, в которых $y_i = 0$ (нули функции), являются границами промежутков знакопостоянства.

Алгоритм для поиска промежутков возрастания и убывания (монотонности):

1. Начать просмотр таблицы со второй точки $(x_2, y_2)$.
2. Сравнить $y_2$ с $y_1$. Определить характер изменения:
   • Если $y_2 > y_1$ — возрастание.
   • Если $y_2 < y_1$ — убывание.
   • Если $y_2 = y_1$ — функция постоянна.
   Запомнить начальную точку промежутка $x_{start} = x_1$ и текущий характер изменения.
3. Перебирать последующие точки $(x_i, y_i)$ для $i = 3, ..., N$.
4. Сравнить $y_i$ с $y_{i-1}$ и определить новый характер изменения.
5. Если новый характер изменения совпадает с предыдущим, то мы находимся в том же промежутке монотонности.
6. Если характер изменения сменился (например, с возрастания на убывание), то промежуток монотонности, начавшийся в $x_{start}$, закончился на $x_{i-1}$. Записываем этот промежуток $[x_{start}, x_{i-1}]$ и его характер. Новой начальной точкой $x_{start}$ становится $x_{i-1}$. Запоминаем новый характер изменения.
7. После прохода по всем точкам, записать последний промежуток от последней сохраненной точки $x_{start}$ до $x_N$.

Ответ: Алгоритмы описаны выше. Они основаны на последовательном сравнении значений функции в соседних узлах таблицы.

Можно ли составить такой алгоритм для других способов задания функции? Почему?

Да, можно, но с некоторыми оговорками. Эти алгоритмы по своей сути являются дискретными, то есть они анализируют поведение функции в отдельных точках.
1. Аналитический способ (формулой): Если функция задана формулой, например, $f(x) = x^2 - 2x$, мы можем сгенерировать таблицу значений, выбрав некоторый диапазон и шаг для аргумента $x$, а затем применить к этой таблице описанные выше алгоритмы. Однако такой подход даст лишь приближенное представление о поведении функции, так как мы можем пропустить важные изменения между выбранными точками. Более точный метод для аналитически заданной функции — использование производной. Промежутки знакопостоянства находят, решая неравенства $f(x) > 0$ и $f(x) < 0$, а промежутки монотонности — анализируя знак производной $f'(x)$.
2. Графический способ: Если функция задана графиком, то промежутки знакопостоянства и монотонности определяются визуально. Промежутки знакопостоянства — это участки, где график лежит выше или ниже оси абсцисс. Промежутки возрастания/убывания — это участки, где график "идет вверх" или "идет вниз" при движении слева направо. Алгоритм для компьютера мог бы анализировать пиксели изображения графика, но это сложная и неточная задача.

Ответ: Да, можно, путем сведения других способов задания функции к табличному (дискретизации). Однако важно понимать, что при этом теряется информация о поведении функции между узлами таблицы, что может привести к неточным результатам. Для аналитического задания функции существуют более точные методы, основанные на математическом анализе.

Предположим, что у вас есть подпрограмма, позволяющая вычислить значение некоторой функции в любой точке. Можно ли с помощью этой подпрограммы найти все нули этой функции?

Нет, в общем случае найти все нули функции с помощью такой подпрограммы невозможно. Вот несколько причин:

• Бесконечная область определения: Если функция определена на бесконечном промежутке (например, на всей числовой оси $(-\infty, \infty)$), невозможно проверить каждую точку. Мы можем исследовать только конечный отрезок.
• Проблема шага: Даже на конечном отрезке мы можем проверять значения функции только в дискретном наборе точек (с некоторым шагом). Если нули функции расположены очень близко друг к другу, мы можем "перешагнуть" через них. Например, для функции $f(x) = \sin(100x)$ на отрезке $[0, 1]$ есть множество нулей. Если выбрать слишком большой шаг, можно не обнаружить смену знака и пропустить корень.
• Ограничения точности вычислений: Компьютеры работают с числами с плавающей запятой, которые имеют ограниченную точность. Вычислить значение, в точности равное нулю, бывает невозможно. Вместо этого ищут точки $x$, где $|f(x)| < \epsilon$, где $\epsilon$ — очень малое положительное число (точность).
• Сложное поведение функции: Функция может касаться оси, не пересекая ее (корень четной кратности, например, $f(x)=x^2$ в точке $x=0$). В этом случае знак функции не меняется, и методы, основанные на поиске смены знака, не найдут такой корень.

Ответ: Нет, в общем случае найти абсолютно все нули функции с помощью подпрограммы для ее вычисления невозможно из-за бесконечности области определения, необходимости выбора шага (дискретизации) и ограниченной точности компьютерных вычислений.

Сделайте вывод об особенностях решения уравнений с помощью компьютера.

Решение уравнений с помощью компьютера имеет ряд ключевых особенностей, отличающих его от аналитического (ручного) решения:

1. Приближенный характер: Большинство компьютерных методов являются численными, то есть они находят не точное, а приближенное решение с заданной точностью.
2. Итеративность: Многие алгоритмы работают итеративно — они начинают с некоторого начального приближения и последовательно уточняют его, пока не будет достигнута требуемая точность.
3. Необходимость локализации корня: Для многих методов (например, метода половинного деления) необходимо заранее указать интервал, на котором находится корень. Найти такой интервал — отдельная задача.
4. Чувствительность к начальным данным: Некоторые методы (например, метод Ньютона) очень чувствительны к выбору начального приближения. При неудачном выборе метод может работать очень медленно или вовсе не найти решение (расходиться).
5. Проблема поиска всех корней: Компьютерные методы, как правило, находят только один корень за один запуск. Поиск всех корней на заданном промежутке — значительно более сложная задача, не всегда имеющая гарантированное решение.
6. Ограничения, связанные с "железом": Точность вычислений ограничена разрядностью чисел с плавающей запятой, что может приводить к ошибкам округления.

Ответ: Основная особенность решения уравнений с помощью компьютера заключается в том, что оно, как правило, является численным и приближенным, а не точным аналитическим. Результат зависит от выбранного алгоритма, начальных данных и требуемой точности.

Найдите в Интернете информацию о численных методах решения уравнений.

Численные методы решения уравнений — это алгоритмы, позволяющие находить приближенные решения уравнений вида $f(x)=0$. Они особенно важны, когда аналитическое решение найти сложно или невозможно. Вот некоторые из самых известных методов:

• Метод бисекции (метод половинного деления).
  Это самый простой и надежный метод. Он требует наличия отрезка $[a, b]$, на концах которого функция принимает значения разных знаков ($f(a) \cdot f(b) < 0$). Это гарантирует, что на отрезке есть хотя бы один корень. Алгоритм заключается в последовательном делении отрезка пополам и выборе той половины, на концах которой функция по-прежнему имеет разные знаки. Процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной точности.
• Метод Ньютона (метод касательных).
  Это один из самых быстрых итерационных методов. Он требует задания начального приближения $x_0$. Каждое следующее приближение вычисляется по формуле:
  $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
  Геометрически это означает, что мы проводим касательную к графику функции в точке $(x_n, f(x_n))$ и находим точку, где эта касательная пересекает ось абсцисс. Эта точка и будет следующим приближением. Метод очень быстро сходится, если начальное приближение достаточно близко к корню, но может расходиться при неудачном выборе. Требует вычисления производной функции.
• Метод секущих.
  Этот метод похож на метод Ньютона, но не требует вычисления производной. Вместо касательной он использует секущую, проведенную через две последние точки итерации. Формула для следующего приближения:
  $x_{n+1} = x_n - f(x_n) \frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$
  Для старта метода требуются два начальных приближения. Скорость сходимости немного ниже, чем у метода Ньютона, но отсутствие необходимости вычислять производную делает его очень популярным.
• Метод простой итерации.
  Для использования этого метода уравнение $f(x) = 0$ преобразуют к виду $x = \phi(x)$. Затем, начиная с начального приближения $x_0$, строят последовательность $x_{n+1} = \phi(x_n)$. Если эта последовательность сходится, то ее предел является корнем уравнения. Условием сходимости является $|\phi'(x)| < 1$ в окрестности корня.

Ответ: Существует множество численных методов для решения уравнений, среди которых наиболее известны метод бисекции (надежный, но медленный), метод Ньютона (быстрый, но требующий производной и хорошего начального приближения) и метод секущих (аналог метода Ньютона без производной).