Номер §11, страница 363 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §11, страница 363.

Условие.

K § 11 «Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными»

Вася Ошибочкин захотел решить систему уравнений таким образом: для каждого из них построить график уравнения, задав в табличном редакторе таблицу соответствующих значений, а затем найти на экране компьютера точки пересечения этих графиков. В чём недостатки этого плана?

Решение.

План Васи Ошибочкина, несмотря на кажущуюся простоту и наглядность, имеет несколько существенных недостатков, которые могут привести к неверному или неполному решению системы уравнений.

1. Проблема точности. Графический метод даёт лишь приблизительное решение. Точность определения координат точек пересечения ограничена разрешением экрана и масштабом графика. Если решением является пара иррациональных чисел (например, $(\sqrt{2}, 1-\sqrt{2})$) или рациональных чисел с большим знаменателем (например, $(\frac{17}{19}, \frac{23}{19})$), то найти их точные значения по графику невозможно. Вася сможет определить лишь примерные значения, что не является точным решением. Например, для системы $\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases}$ точным решением является пара $(2, 1)$, которую легко найти. А для системы $\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 4x + 5y = 13 \end{cases}$ решением будет $(2.125, 1.0833...)$, что определить на глаз практически нереально с достаточной точностью.

2. Потеря решений. Можно легко пропустить решения, если они находятся за пределами выбранного для построения диапазона значений. Например, если Вася будет строить графики для $x$ в диапазоне от -10 до 10, а точка пересечения находится в точке $(100, 50)$, он её не увидит и может сделать неверный вывод, что решений нет. Также, если две точки пересечения находятся очень близко друг к другу, на экране они могут слиться в одну, и Вася найдёт только одно решение вместо двух. Например, у параболы $y = x^2$ и прямой $y = 0.01$ две точки пересечения $(-0.1, 0.01)$ и $(0.1, 0.01)$, которые при малом масштабе будут неотличимы от одной точки касания в $(0, 0)$.

3. Некорректное построение графика. Табличный редактор строит график по набору точек, соединяя их отрезками прямых.
- Во-первых, если шаг для аргумента (например, $x$) будет выбран слишком большим, можно пропустить важные особенности графика (изгибы, экстремумы, разрывы), и итоговая ломаная линия будет сильно отличаться от реального графика. Например, для функции $y = \frac{1}{x}$, если взять только целые значения $x$, то поведение функции вблизи нуля будет полностью упущено.
- Во-вторых, для сложных уравнений, которые нельзя легко выразить в виде $y=f(x)$, построение таблицы значений само по себе является сложной задачей. Например, для уравнения $x^3+y^3 - 3xy = 0$ (Декартов лист) построить таблицу значений нетривиально.

Ответ: Основные недостатки плана Васи заключаются в низкой точности получаемых решений (графически можно найти лишь приблизительные значения), высокой вероятности потери решений (если они лежат вне видимой области или расположены очень близко друг к другу), а также в возможных ошибках при построении самого графика по дискретному набору точек, что может исказить его реальный вид и привести к неверным выводам о количестве и расположении точек пересечения.