Номер §4-6, страница 362 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §4-6, страница 362.

Условие.

К § 4–6. Построение графиков функций

С помощью табличного редактора задайте какую-либо функцию $y = f(x)$ таблично и постройте её график. Для каждой из функций $y = kf(x)$, $y = f(kx)$, $y = f(x) + b$, $y = f(x + a)$, $y = f(x + a) + b$, $y = f(|x|)$, $y = |f(x)|$ дополните таблицу так, чтобы получить график этой функции (сделайте так, чтобы нужные значения подсчитывались автоматически по заданным значениям коэффициентов). Постройте таким образом несколько графиков функции для различных значений коэффициентов и поместите эти графики на одном рисунке.

Постройте график какой-либо функции $y = f(x)$ с помощью графического редактора. Получите из этого графика графики функций $y = kf(x)$, $y = f(kx)$, $y = f(x) + b$, $y = f(x + a)$, $y = f(x + a) + b$ при различных значениях коэффициентов.

Какие значения коэффициентов надо рассмотреть особо?

Решение.

Данная задача посвящена изучению элементарных преобразований графиков функций. Эти преобразования позволяют, имея график исходной функции $y=f(x)$, построить графики более сложных функций. Рассмотрим каждое преобразование подробно.

y = kf(x)

Это преобразование называется вертикальным растяжением/сжатием. Каждое значение функции $f(x)$ умножается на коэффициент $k$.

• Если $|k| > 1$, происходит вертикальное растяжение графика от оси Ox в $|k|$ раз.
• Если $0 < |k| < 1$, происходит вертикальное сжатие графика к оси Ox в $1/|k|$ раз.
• Если $k < 0$, то к растяжению/сжатию добавляется симметричное отражение графика относительно оси Ox.

Ответ: Преобразование графика заключается в вертикальном растяжении (при $|k| > 1$) или сжатии (при $0 < |k| < 1$) относительно оси Ox, с дополнительным отражением относительно этой же оси, если $k < 0$.

y = f(kx)

Это преобразование называется горизонтальным растяжением/сжатием. Коэффициент $k$ умножается на аргумент функции $x$.

• Если $|k| > 1$, происходит горизонтальное сжатие графика к оси Oy в $|k|$ раз.
• Если $0 < |k| < 1$, происходит горизонтальное растяжение графика от оси Oy в $1/|k|$ раз.
• Если $k < 0$, то к растяжению/сжатию добавляется симметричное отражение графика относительно оси Oy.

Ответ: Преобразование графика заключается в горизонтальном сжатии (при $|k| > 1$) или растяжении (при $0 < |k| < 1$) относительно оси Oy, с дополнительным отражением относительно этой же оси, если $k < 0$.

y = f(x) + b

Это преобразование — вертикальный сдвиг (параллельный перенос). График функции $y=f(x)$ сдвигается вдоль оси Oy.

• Если $b > 0$, график сдвигается вверх на $b$ единиц.
• Если $b < 0$, график сдвигается вниз на $|b|$ единиц.

Ответ: Преобразование графика заключается в параллельном переносе вдоль оси Oy на $b$ единиц вверх (при $b>0$) или вниз (при $b<0$).

y = f(x + a)

Это преобразование — горизонтальный сдвиг (параллельный перенос). График функции $y=f(x)$ сдвигается вдоль оси Ox.

• Если $a > 0$, график сдвигается влево на $a$ единиц.
• Если $a < 0$, график сдвигается вправо на $|a|$ единиц.

Ответ: Преобразование графика заключается в параллельном переносе вдоль оси Ox на $a$ единиц влево (при $a>0$) или вправо (при $a<0$).

y = f(x + a) + b

Это преобразование является комбинацией горизонтального и вертикального сдвигов. График функции $y=f(x)$ переносится на вектор $(\text{-}a, b)$. То есть, происходит сдвиг на $a$ единиц влево (если $a>0$) или вправо (если $a<0$) и на $b$ единиц вверх (если $b>0$) или вниз (если $b<0$).

Ответ: Преобразование графика заключается в параллельном переносе на вектор $(\text{-}a, b)$.

y = f(|x|)

Это преобразование создает четную функцию из исходной. Для построения графика:

1. Часть графика $y=f(x)$, где $x \ge 0$, остается без изменений.
2. Часть графика, где $x < 0$, отбрасывается.
3. Оставшаяся часть ($x \ge 0$) симметрично отражается относительно оси Oy.

В результате получается график, симметричный относительно оси Oy.

Ответ: Часть графика для $x \ge 0$ сохраняется и отражается симметрично относительно оси Oy, замещая часть графика для $x < 0$.

y = |f(x)|

Это преобразование делает все значения функции неотрицательными. Для построения графика:

1. Часть графика $y=f(x)$, которая лежит выше или на оси Ox (где $f(x) \ge 0$), остается без изменений.
2. Часть графика, которая лежит ниже оси Ox (где $f(x) < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox.

В результате весь график будет расположен в верхней полуплоскости.

Ответ: Часть графика, лежащая под осью Ox, симметрично отражается относительно этой оси вверх.

Какие значения коэффициентов надо рассмотреть особо?

При исследовании влияния коэффициентов на график функции $y = f(x)$ стоит обратить особое внимание на значения, которые изменяют качественный характер преобразования (например, сжатие на растяжение, сдвиг на отражение) или приводят к вырожденным случаям.

Коэффициент $k$ (в функциях $y=kf(x)$ и $y=f(kx)$):

• $k = 1$: Тождественное преобразование. График не изменяется. Это эталонное значение для сравнения.
• $k = -1$: Симметрия (отражение). Для $y=-f(x)$ график отражается относительно оси Ox. Для $y=f(-x)$ график отражается относительно оси Oy.
• $k = 0$: Вырожденный случай. График $y=0 \cdot f(x)$ становится прямой $y=0$ (ось Ox). График $y=f(0 \cdot x)$ становится горизонтальной прямой $y=f(0)$. Функция становится константой.
• Переход через 1: Важно сравнить поведение при $|k| < 1$ (сжатие) и при $|k| > 1$ (растяжение). Например, взять пары значений $k=0.5$ и $k=2$.
• Отрицательные значения ($k < 0$): Они добавляют к растяжению/сжатию отражение относительно соответствующей оси. Важно сравнить, например, $k=2$ и $k=-2$.

Коэффициенты сдвига $a$ и $b$ (в функциях $y=f(x+a)$, $y=f(x)+b$, $y=f(x+a)+b$):

• $a = 0$ и $b = 0$: Отсутствие сдвига. График не изменяется.
• Знак коэффициентов: Важно рассмотреть как положительные, так и отрицательные значения, так как они определяют направление сдвига.
  • $a > 0$ (сдвиг влево) и $a < 0$ (сдвиг вправо).
  • $b > 0$ (сдвиг вверх) и $b < 0$ (сдвиг вниз).
  В отличие от коэффициента $k$, для $a$ и $b$ нет других "особых" точек, кроме нуля. Величина сдвига линейно зависит от значения коэффициента.

Ответ: Особого рассмотрения требуют значения коэффициента $k$, равные $1$, $-1$ и $0$, так как они соответствуют тождественному преобразованию, отражению и вырождению функции. Также важен переход $|k|$ через 1, который меняет сжатие на растяжение. Для коэффициентов сдвига $a$ и $b$ особое значение — это $0$ (отсутствие сдвига), а также важен их знак, определяющий направление сдвига.