Номер §16, страница 364 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §16, страница 364.

Условие.

К § 16 «Системы неравенств с двумя переменными»

Пусть имеется несколько функций $f_i(x; y)$ и для каждой из них существует подпрограмма, позволяющая вычислить значение функции $f_i(x; y)$ для заданных значений переменных. Как построить на экране компьютера график решения системы неравенств, каждое из которых имеет вид $f_i(x; y) > 0$?

Решение.

Чтобы построить на экране компьютера график решения системы неравенств, каждое из которых имеет вид $f_i(x, y) > 0$, и для каждой функции $f_i(x, y)$ существует подпрограмма для вычисления ее значения, можно применить следующий алгоритм:

1. Задание области построения

Определяется прямоугольная область на координатной плоскости, которая будет отображаться на экране. Эта область задается диапазонами значений для переменных $x$ и $y$: $[x_{min}, x_{max}]$ и $[y_{min}, y_{max}]$.

2. Перебор пикселей

Программа должна организовать два вложенных цикла для перебора каждого пикселя на экране в заданной области. Внешний цикл может перебирать пиксели по горизонтали (координата $px$), а внутренний — по вертикали (координата $py$).

3. Преобразование экранных координат в математические

Для каждого пикселя с экранными координатами $(px, py)$ вычисляются соответствующие ему реальные (математические) координаты $(x, y)$. Если разрешение экрана $W \times H$ пикселей, формулы для преобразования могут быть такими:

$x = x_{min} + \frac{px}{W-1} \cdot (x_{max} - x_{min})$

$y = y_{max} - \frac{py}{H-1} \cdot (y_{max} - y_{min})$ (эта формула учитывает, что ось $y$ на экране обычно направлена вниз).

4. Проверка выполнения системы неравенств

Для полученной точки с координатами $(x, y)$ необходимо проверить, удовлетворяет ли она всем неравенствам системы. Для этого создается еще один цикл, который перебирает все функции $f_i(x, y)$:

• С помощью имеющейся подпрограммы вычисляется значение $v = f_i(x, y)$.
• Проверяется условие $v > 0$.
• Если условие не выполняется хотя бы для одной функции $f_i$, то точка $(x, y)$ не является решением системы. В этом случае проверка для данной точки прекращается, и программа переходит к следующему пикселю.
• Если все неравенства $f_i(x, y) > 0$ для всех $i$ успешно выполнены, то точка $(x, y)$ является решением системы.

5. Отрисовка результата

В зависимости от результата проверки на шаге 4, пиксель $(px, py)$ окрашивается:

• Если точка $(x, y)$ является решением системы, пиксель закрашивается заранее выбранным цветом (например, синим).
• Если точка не является решением, пиксель окрашивается в цвет фона (например, белый).

Последовательное выполнение этих шагов для всех пикселей экрана приведет к тому, что на экране будет закрашена область, соответствующая множеству решений данной системы неравенств.

Ответ:

Для построения графика решения системы неравенств $f_i(x, y) > 0$ на экране компьютера необходимо реализовать алгоритм, который перебирает все пиксели в заданной области экрана. Для каждого пикселя определяются соответствующие ему координаты $(x, y)$. Затем, используя имеющиеся подпрограммы, для этих координат вычисляются значения всех функций $f_i(x, y)$. Если для данной точки $(x, y)$ все неравенства системы $f_i(x, y) > 0$ выполняются одновременно, то соответствующий пиксель закрашивается цветом, обозначающим решение. В противном случае пиксель остается в цвете фона. Повторение этой процедуры для всех пикселей формирует на экране изображение искомого множества решений.