Номер §13, страница 363 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §13, страница 363.

Условие.

К § 13 «Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными»

Запишите алгоритм, который определяет, является ли многочлен: 1) однородным; 2) симметрическим.

Пользуясь алгоритмом, определяющим тип многочлена, запишите алгоритм, который выдаёт рекомендацию о применении способов решения системы двух уравнений с двумя переменными, изученных в этом параграфе.

Решение.

Ниже представлены алгоритмы для определения типа многочлена и выбора соответствующего метода решения системы уравнений.

Алгоритм определения типа многочлена

1) однородным

Для многочлена $P(x, y)$ с двумя переменными $x$ и $y$:

1. Рассмотреть каждый член (одночлен) многочлена.
2. Для каждого члена вида $a \cdot x^n \cdot y^m$ определить его степень как сумму показателей степеней переменных, то есть $k = n + m$. (Степень константы, если она присутствует как отдельный член, равна 0).
3. Сравнить степени, вычисленные для каждого члена многочлена.
4. Если степени всех без исключения членов многочлена одинаковы, то многочлен является однородным.
5. Если степени хотя бы двух членов различны, то многочлен не является однородным.

Ответ: Вышеописанный алгоритм позволяет определить, является ли многочлен однородным.

2) симметрическим

Для многочлена $P(x, y)$ с двумя переменными $x$ и $y$:

1. Записать исходный многочлен $P(x, y)$.
2. Создать новый многочлен $P(y, x)$, заменив в исходном многочлене каждую переменную $x$ на $y$ и каждую переменную $y$ на $x$.
3. Привести оба многочлена, $P(x, y)$ и $P(y, x)$, к каноническому (стандартному) виду, например, упорядочив члены по убыванию степеней одной из переменных.
4. Сравнить полученные канонические формы.
5. Если канонические формы многочленов $P(x, y)$ и $P(y, x)$ тождественно совпадают, то исходный многочлен является симметрическим.
6. Если они не совпадают, многочлен не является симметрическим.

Ответ: Вышеописанный алгоритм позволяет определить, является ли многочлен симметрическим.

---

Алгоритм выдачи рекомендаций по решению системы уравнений

Для системы двух уравнений с двумя переменными $\begin{cases} F_1(x, y) = 0 \\ F_2(x, y) = 0 \end{cases}$, где $F_1(x, y)$ и $F_2(x, y)$ — многочлены:

1. Шаг 1. Проверка на однородность.

   Используя алгоритм из пункта 1, проверить, являются ли многочлены $F_1(x, y)$ и $F_2(x, y)$ однородными. Если оба многочлена однородные, выдать следующую рекомендацию и прекратить выполнение алгоритма:

   Рекомендация: "Система является однородной. Рекомендуется использовать замену $y = tx$. Эта замена позволяет свести одно из уравнений к уравнению относительно переменной $t$. Найдя значения $t$, можно выразить $y$ через $x$ и подставить во второе уравнение системы. Важно отдельно рассмотреть случай, когда $x = 0$."

   Если условие не выполняется, перейти к шагу 2.

2. Шаг 2. Проверка на симметричность.

   Используя алгоритм из пункта 2, проверить, являются ли многочлены $F_1(x, y)$ и $F_2(x, y)$ симметрическими. Если оба многочлена симметрические, выдать следующую рекомендацию и прекратить выполнение алгоритма:

   Рекомендация: "Система является симметрической. Рекомендуется выполнить замену переменных на элементарные симметрические многочлены: $u = x+y$, $v = xy$. Предварительно нужно выразить выражения в системе через $u$ и $v$ (например, $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=u^2-2v$). После решения новой системы относительно $u$ и $v$ необходимо для каждой найденной пары $(u_0, v_0)$ вернуться к исходным переменным, решив систему $\begin{cases} x+y=u_0 \\ xy=v_0 \end{cases}$, которая, согласно теореме Виета, эквивалентна нахождению корней квадратного уравнения $z^2 - u_0z + v_0 = 0$."

   Если условие не выполняется, перейти к шагу 3.

3. Шаг 3. Общие методы.

   Если система не была классифицирована на предыдущих шагах, выдать следующую рекомендацию:

   Рекомендация: "Данная система не является однородной или симметрической. Следует применить общие методы решения систем уравнений: метод подстановки (выразить одну переменную через другую из одного уравнения и подставить во второе) или метод алгебраического сложения (умножить уравнения на такие коэффициенты, чтобы при сложении или вычитании уравнений одна из переменных сократилась)."

Ответ: Вышеописанный алгоритм анализирует систему уравнений и предлагает подходящий метод решения на основе её типа (однородная, симметрическая или общего вида).