Номер §10, страница 363 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §10, страница 363.

Условие.

К § 10 «Уравнение с двумя переменными и его график»

Предположим, что уравнение с двумя переменными $f(x; y) = 0$ задано очень сложной формулой $f(x; y)$, поэтому для построения его графика нельзя пользоваться ни способами, изученными в этом параграфе, ни табличным редактором. Однако существует подпрограмма, позволяющая вычислить значение $f(x; y)$ для заданных значений переменной. Как построить график этого уравнения на экране компьютера? Насколько адекватным будет этот график?

Решение.

Как построить график этого уравнения на экране компьютера?

Поскольку у нас нет явной формулы для аналитического решения или преобразования, но есть подпрограмма для вычисления значения функции $f(x, y)$ в любой точке, мы можем использовать численный метод, основанный на переборе точек (пикселей) на экране. Алгоритм построения будет следующим:

1. Определяем область построения на плоскости, которая будет отображаться на экране. Задаем минимальные и максимальные значения для $x$ и $y$ (например, $x \in [x_{min}, x_{max}], y \in [y_{min}, y_{max}]$).

2. Сопоставляем эту область с разрешением экрана. Экран представляет собой сетку пикселей. Мы будем перебирать каждый пиксель этой сетки.

3. Для каждого пикселя на экране определяем соответствующие ему координаты $(x, y)$ в нашей системе координат.

4. С помощью предоставленной подпрограммы вычисляем значение $z = f(x, y)$ для этих координат.

5. График уравнения $f(x, y) = 0$ — это множество точек, где значение функции равно нулю. Однако при работе с вещественными числами на компьютере точное равенство нулю является очень редким событием. Поэтому мы проверяем, является ли значение функции близким к нулю. То есть, мы проверяем условие $|f(x, y)| < \epsilon$, где $\epsilon$ — это некоторое малое положительное число (допуск, погрешность).

6. Если условие $|f(x, y)| < \epsilon$ выполняется, то мы считаем, что точка $(x, y)$ лежит на графике, и закрашиваем соответствующий пиксель на экране. Если условие не выполняется, пиксель остается незакрашенным.

Пройдя таким образом по всем пикселям в заданной области, мы получим на экране визуальное представление множества точек, удовлетворяющих уравнению, то есть его график.

Ответ: График строится путем перебора всех пикселей на экране. Для каждого пикселя вычисляются соответствующие координаты $(x, y)$, затем с помощью подпрограммы находится значение $f(x, y)$. Если модуль этого значения меньше заданной малой величины $\epsilon$ (то есть $|f(x, y)| < \epsilon$), пиксель закрашивается.

Насколько адекватным будет этот график?

Адекватность (точность и полнота) построенного графика будет зависеть от двух ключевых параметров, выбранных для построения:

• Шаг сетки (или разрешение экрана). Этот параметр определяет, насколько подробно мы "ощупываем" плоскость. Если шаг будет слишком большим (низкое разрешение), то мы можем пропустить мелкие детали графика. Например, если график представляет собой небольшую замкнутую кривую, которая целиком помещается между узлами нашей сетки, мы ее просто не увидим. Чем меньше шаг (выше разрешение), тем более детальным и точным будет изображение, но тем больше вычислений потребуется и тем дольше будет строиться график.

• Величина допуска $\epsilon$. Этот параметр определяет, насколько "толстой" будет линия графика.

  • Если выбрать $\epsilon$ слишком большим, то график получится очень жирным, так как множество точек, "близких" к решению, будет закрашено. Это может скрыть мелкие детали, например, если две ветви графика проходят близко друг к другу, они могут слиться в одно пятно.

  • Если выбрать $\epsilon$ слишком маленьким, то график может получиться прерывистым (пунктирным) или вообще не появиться, так как из-за погрешностей вычислений значение $f(x, y)$ может ни в одной из точек сетки не оказаться достаточно близким к нулю.

Таким образом, полученный график является не точным математическим объектом, а его дискретной аппроксимацией. Его адекватность — это компромисс между точностью и вычислительными затратами. При достаточно высоком разрешении и правильно подобранном допуске $\epsilon$ график будет визуально очень близок к реальному, но всегда есть риск упустить очень мелкие или быстро осциллирующие детали функции.

Ответ: Адекватность графика зависит от шага сетки (разрешения) и выбранного допуска $\epsilon$. График является приближенным. При слишком большом шаге можно пропустить детали, а неправильно подобранный допуск может сделать линию слишком толстой или прерывистой. Для получения адекватного изображения требуется найти баланс между точностью и временем построения.