Номер §18, страница 364 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §18, страница 364.

Условие.

К § 18 «Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши — Буняковского»

Напишите программу для вычисления среднего квадратичного, среднего арифметического, среднего геометрического, среднего гармонического данных чисел $a$ и $b$. Проверьте с её помощью выполнение соотношения между этими величинами.

Решение.

Для решения задачи необходимо сначала определить формулы для вычисления каждого из указанных средних для двух положительных чисел $a$ и $b$, затем написать программу, реализующую эти вычисления, и, наконец, проверить работу программы на конкретном примере, убедившись в выполнении неравенства между средними.

1. Формулы средних величин

Для двух положительных чисел $a > 0$ и $b > 0$ определены следующие средние величины:

• Среднее квадратичное (Q): Вычисляется как квадратный корень из среднего арифметического квадратов чисел.

  $Q(a, b) = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$

• Среднее арифметическое (A): Сумма чисел, деленная на их количество.

  $A(a, b) = \frac{a + b}{2}$

• Среднее геометрическое (G): Корень n-ой степени из произведения n чисел. Для двух чисел — квадратный корень из их произведения.

  $G(a, b) = \sqrt{ab}$

• Среднее гармоническое (H): Число, обратное среднему арифметическому их обратных величин.

  $H(a, b) = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a+b}$

Эти величины связаны между собой известным неравенством о средних, которое для двух положительных чисел выглядит так:

$H(a, b) \le G(a, b) \le A(a, b) \le Q(a, b)$

Равенство во всех частях неравенства достигается только тогда, когда $a = b$.

Ответ: Приведены формулы для вычисления среднего квадратичного, арифметического, геометрического и гармонического, а также соотношение между ними.

2. Программа для вычисления средних

Ниже представлена программа на языке Python, которая запрашивает у пользователя два числа, вычисляет для них четыре вида средних и проверяет выполнение неравенства.

import mathdef calculate_means(a, b): "" Вычисляет среднее квадратичное, арифметическое, геометрическое и гармоническое для двух положительных чисел a и b. "" if a <= 0 or b <= 0: print("Ошибка: числа должны быть положительными.") return None # Среднее квадратичное rms = math.sqrt((a**2 + b**2) / 2) # Среднее арифметическое am = (a + b) / 2 # Среднее геометрическое gm = math.sqrt(a * b) # Среднее гармоническое hm = 2 / (1/a + 1/b) return { "rms": rms, "am": am, "gm": gm, "hm": hm }def main(): "" Основная функция для ввода данных и вывода результатов. "" try: a = float(input("Введите первое положительное число a: ")) b = float(input("Введите второе положительное число b: ")) means = calculate_means(a, b) if means: print(f"\nДля чисел a = {a} и b = {b}:") print(f"Среднее квадратичное (Q) = {means['rms']:.4f}") print(f"Среднее арифметическое (A) = {means['am']:.4f}") print(f"Среднее геометрическое (G) = {means['gm']:.4f}") print(f"Среднее гармоническое (H) = {means['hm']:.4f}") # Проверка выполнения соотношения hm, gm, am, rms = means['hm'], means['gm'], means['am'], means['rms'] # Сравнение с учетом возможных погрешностей вычислений is_valid = (hm <= gm + 1e-9) and (gm <= am + 1e-9) and (am <= rms + 1e-9) print("\nПроверка соотношения H <= G <= A <= Q:") print(f"{hm:.4f} <= {gm:.4f} <= {am:.4f} <= {rms:.4f}") if is_valid: print("Соотношение выполняется.") else: print("Соотношение не выполняется (возможно, из-за погрешностей вычислений).") except ValueError: print("Ошибка: введено не число. Пожалуйста, введите корректные числовые значения.")if __name__ == "__main__": main() 

Ответ: Написана программа на Python, которая вычисляет четыре вида средних для двух введённых пользователем положительных чисел и проверяет выполнение неравенства между ними.

3. Проверка работы программы и выполнения соотношения

Проверим работу программы на примере чисел $a = 2$ и $b = 8$.

Ручной расчет:

• $H(2, 8) = \frac{2 \cdot 2 \cdot 8}{2 + 8} = \frac{32}{10} = 3.2$
• $G(2, 8) = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4.0$
• $A(2, 8) = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5.0$
• $Q(2, 8) = \sqrt{\frac{2^2 + 8^2}{2}} = \sqrt{\frac{4 + 64}{2}} = \sqrt{34} \approx 5.831$

Соотношение: $3.2 \le 4.0 \le 5.0 \le 5.831$. Неравенство выполняется.

Результат работы программы:

Если запустить программу и ввести числа 2 и 8, вывод будет следующим:

Введите первое положительное число a: 2Введите второе положительное число b: 8Для чисел a = 2.0 и b = 8.0:Среднее квадратичное (Q) = 5.8310Среднее арифметическое (A) = 5.0000Среднее геометрическое (G) = 4.0000Среднее гармоническое (H) = 3.2000Проверка соотношения H <= G <= A <= Q:3.2000 <= 4.0000 <= 5.0000 <= 5.8310Соотношение выполняется. 

Как видно из примера, результаты, вычисленные программой, совпадают с ручным расчетом, и программа корректно подтверждает выполнение неравенства между средними величинами.

Ответ: Проверка работы программы на примере чисел $a=2$ и $b=8$ показала, что вычисления верны, и соотношение $H \le G \le A \le Q$ выполняется, что подтверждает корректность программы.