Номер §12, страница 363 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §12, страница 363.

Условие.

К § 12 «Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения»

Пусть даны два множества, представляющие собой решения двух уравнений с двумя переменными. Запишите алгоритм, который делает вывод: данные уравнения равносильны; одно из них является следствием другого (если да, то какое именно). С помощью какой структуры данных вы представите множество решений уравнения с двумя переменными?

Решение.

Для решения поставленной задачи необходимо определить математические отношения между множествами решений и на их основе построить алгоритм, а также выбрать оптимальную структуру данных для хранения этих множеств.

Алгоритм

Пусть даны два уравнения с двумя переменными, $U_1(x, y) = 0$ и $U_2(x, y) = 0$, и соответствующие им множества решений $M_1$ и $M_2$. Каждое решение представляет собой упорядоченную пару чисел $(x, y)$.

Отношения между уравнениями определяются через отношения между их множествами решений:

• Равносильность: Уравнения $U_1$ и $U_2$ равносильны, если их множества решений полностью совпадают, то есть $M_1 = M_2$. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда $M_1$ является подмножеством $M_2$ и одновременно $M_2$ является подмножеством $M_1$ ($M_1 \subseteq M_2$ и $M_2 \subseteq M_1$).
• Следствие: Уравнение $U_2$ является следствием уравнения $U_1$, если каждое решение $U_1$ также является решением $U_2$. Это означает, что множество $M_1$ является подмножеством множества $M_2$ ($M_1 \subseteq M_2$).

На основе этих определений можно составить следующий пошаговый алгоритм:

1. Шаг 1: Проверка $M_1 \subseteq M_2$. Необходимо проверить, является ли множество $M_1$ подмножеством $M_2$. Для этого нужно последовательно перебрать все элементы (пары решений) из $M_1$ и для каждого элемента проверить его наличие в множестве $M_2$. Результат проверки (истина или ложь) сохраняется в логическую переменную, например, is_M1_subset_of_M2.
2. Шаг 2: Проверка $M_2 \subseteq M_1$. Аналогично первому шагу, проверяется, является ли $M_2$ подмножеством $M_1$. Все элементы из $M_2$ проверяются на их наличие в $M_1$. Результат сохраняется в переменную is_M2_subset_of_M1.
3. Шаг 3: Формулировка вывода. На основе значений двух логических переменных делается окончательный вывод:
   • Если is_M1_subset_of_M2 = true и is_M2_subset_of_M1 = true, то множества равны ($M_1 = M_2$). Вывод: Данные уравнения равносильны.
   • Если is_M1_subset_of_M2 = true и is_M2_subset_of_M1 = false, то $M_1$ является строгим подмножеством $M_2$ ($M_1 \subset M_2$). Вывод: Второе уравнение является следствием первого.
   • Если is_M1_subset_of_M2 = false и is_M2_subset_of_M1 = true, то $M_2$ является строгим подмножеством $M_1$ ($M_2 \subset M_1$). Вывод: Первое уравнение является следствием второго.
   • Если is_M1_subset_of_M2 = false и is_M2_subset_of_M1 = false, то множества не связаны отношением включения. Вывод: Уравнения не являются равносильными, и ни одно из них не является следствием другого.

Ответ: Алгоритм состоит в двухсторонней проверке на то, является ли одно множество решений подмножеством другого. Сначала проверяется, все ли решения первого уравнения содержатся во втором множестве, затем — все ли решения второго содержатся в первом. По результатам этих двух проверок определяется, являются ли уравнения равносильными (если оба включения верны), является ли одно следствием другого (если верно только одно включение), или они не связаны этими отношениями.

С помощью какой структуры данных вы представите множество решений уравнения с двумя переменными?

Множество решений уравнения с двумя переменными — это совокупность уникальных пар чисел $(x, y)$. Для эффективного хранения и обработки такого набора данных наиболее подходящей является структура данных «Множество» (Set), реализованная с помощью хеш-таблицы.

Ключевые характеристики и преимущества этого подхода:

• Представление решения: Каждое отдельное решение $(x, y)$ можно представить в виде неизменяемого кортежа (tuple) или простого объекта-точки, который будет служить элементом множества.
• Гарантия уникальности: Структура данных «множество» по своей природе не допускает дубликатов, что полностью соответствует математическому определению множества решений.
• Высокая производительность: Использование хеш-таблицы в качестве основы для множества обеспечивает очень быстрое выполнение ключевой для нашего алгоритма операции — проверки на принадлежность элемента множеству. В среднем эта операция занимает константное время ($O(1)$), что делает алгоритм сравнения эффективным даже при большом количестве решений.

Хотя можно использовать и более простые структуры, например, массив или список пар, их производительность при поиске элемента будет значительно ниже ($O(n)$, где $n$ — количество решений), что сделает алгоритм неэффективным для больших объемов данных.

Ответ: Наиболее подходящей структурой данных для представления множества решений является «множество» (Set), реализованное на основе хеш-таблицы. В качестве элементов множества следует использовать кортежи или объекты, представляющие пары координат $(x, y)$.