Номер §3, страница 362 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §3, страница 362.

Условие.

К § 3 «Чётные и нечётные функции»

Задайте в табличном редакторе некоторую функцию для положительных значений аргумента. Дополните таблицу так, чтобы получилась: 1) чётная функция; 2) нечётная функция. Как сделать это автоматически? Постройте средствами табличного редактора график этой функции.

Решение.

Для решения задачи зададим в табличном редакторе (например, Microsoft Excel или Google Sheets) некоторую функцию для положительных значений аргумента $x$. Выберем функцию $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3$ для $x \ge 0$. Эта функция не является ни чётной, ни нечётной, что делает её хорошим примером.

Сначала создадим таблицу значений для $x \ge 0$ с шагом 1.

1. В столбец A будем вводить значения аргумента $x$, в столбец B — значения функции $y$.
2. В ячейки A2:A7 введем значения $x$: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
3. В ячейку B2 введем формулу: =0.5*A2^2 - 2*A2 + 3 и нажмем Enter.
4. Выделим ячейку B2, наведем курсор на правый нижний угол (маркер автозаполнения) и протянем его до ячейки B7.

Исходная таблица для $x \ge 0$ будет выглядеть так:

A (x)	B (y=f(x))
0	3
1	1.5
2	1
3	1.5
4	3
5	5.5

Теперь на основе этой таблицы создадим чётную и нечётную функции.

1) чётная функция

Чётная функция — это функция, у которой для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси Y).

Чтобы дополнить нашу таблицу и получить чётную функцию, нужно для каждого отрицательного значения $x$ найти соответствующее ему положительное значение $-x$ и присвоить значение функции $f(-x) = f(x)$.

Добавим в таблицу значения для $x = -1, -2, -3, -4, -5$.

• $f(-1) = f(1) = 1.5$
• $f(-2) = f(2) = 1$
• $f(-3) = f(3) = 1.5$
• $f(-4) = f(4) = 3$
• $f(-5) = f(5) = 5.5$

Полная таблица для чётной функции (значения отсортированы по $x$):

x	y
-5	5.5
-4	3
-3	1.5
-2	1
-1	1.5
0	3
1	1.5
2	1
3	1.5
4	3
5	5.5

Как сделать это автоматически?

Для автоматического заполнения таблицы можно использовать формулы. Предположим, исходные данные для $x \ge 0$ находятся в диапазоне A2:B7.

1. В ячейки A8:A12 введите отрицательные значения $x$: -1, -2, -3, -4, -5.
2. В ячейку B8 введите формулу, которая найдет значение $y$ для $x=1$ (т.е. для $-(-1)$) и скопирует его. Можно использовать функцию ВПР (VLOOKUP):
   =ВПР(-A8; $A$2:$B$7; 2; ЛОЖЬ)
   Эта формула ищет значение, противоположное значению в A8 (то есть 1), в первом столбце диапазона A2:B7 и возвращает соответствующее значение из второго столбца. Знаки $ делают ссылку на диапазон абсолютной.
3. Протяните формулу из B8 вниз до B12.

Построение графика:

1. Выделите оба столбца с полными данными для $x$ и $y$.
2. Перейдите в меню "Вставка" (Insert) и выберите "Диаграмма" (Chart).
3. Выберите тип диаграммы "Точечная с гладкими кривыми" (Scatter with Smooth Lines).
4. Редактор построит график, который будет симметричен относительно оси Y.

Ответ: Чтобы получить чётную функцию, необходимо дополнить таблицу так, чтобы для каждого $x$ из области определения выполнялось условие $f(-x) = f(x)$. Автоматически это можно сделать с помощью формул, например, функции ВПР (VLOOKUP), которая будет находить значения для $-x$ в исходной таблице. График такой функции строится на основе полной таблицы и будет симметричен относительно оси ординат.

2) нечётная функция

Нечётная функция — это функция, у которой для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График такой функции симметричен относительно начала координат (точки (0,0)).

Важное свойство нечётной функции: если 0 входит в область определения, то $f(0)=0$. В нашей исходной таблице $f(0)=3$, поэтому для создания нечётной функции мы должны изменить это значение на 0.

Дополним таблицу, используя правило $f(-x) = -f(x)$ для $x > 0$ и установив $f(0)=0$.

• $f(0) = 0$
• $f(-1) = -f(1) = -1.5$
• $f(-2) = -f(2) = -1$
• $f(-3) = -f(3) = -1.5$
• $f(-4) = -f(4) = -3$
• $f(-5) = -f(5) = -5.5$

Полная таблица для нечётной функции (значения отсортированы по $x$):

x	y
-5	-5.5
-4	-3
-3	-1.5
-2	-1
-1	-1.5
0	0
1	1.5
2	1
3	1.5
4	3
5	5.5

Как сделать это автоматически?

Исходные данные для $x > 0$ находятся в диапазоне A3:B7. Значение для $x=0$ (ячейки A2:B2) мы задаем вручную как (0, 0).

1. В ячейки A8:A12 введите отрицательные значения $x$: -1, -2, -3, -4, -5.
2. В ячейку B8 введите формулу с использованием ВПР (VLOOKUP), но с добавлением знака "минус":
   =-ВПР(-A8; $A$3:$B$7; 2; ЛОЖЬ)
   Эта формула найдет значение для $x=1$ и вернет его с противоположным знаком.
3. Протяните формулу из B8 вниз до B12.

Построение графика:

Процесс аналогичен построению графика чётной функции. Выделите полные данные, выберите "Вставка" -> "Диаграмма" -> "Точечная с гладкими кривыми". Полученный график будет симметричен относительно начала координат.

Ответ: Чтобы получить нечётную функцию, необходимо дополнить таблицу так, чтобы выполнялось условие $f(-x) = -f(x)$, и установить $f(0)=0$. Автоматизация достигается с помощью формул, например, =-ВПР(...), которая находит значение для $-x$ и меняет его знак. График строится на основе полной таблицы и будет симметричен относительно начала координат.