Номер 9, страница 361 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Проектная работа - номер 9, страница 361.

Условие.

9. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов

Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы

1) Прасолов В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. — М.: МЦНМО, 2007.

2) Спивак А. В. Арифметика. — М.: Бюро Квантум, 2007.

3) http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg31.html Бином Ньютона

4) http://ru.wikipedia.org/wiki/ Исаак Ньютон

5) http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/1040fa23-ac04-b94b-4a41-bd93fbf0d55a/25442/ Треугольник Паскаля и бином Ньютона

Решение.

Бином Ньютона

Формула бинома Ньютона — это формула для разложения в многочлен натуральной степени двучлена (бинома) $(a+b)$. Общий вид формулы для любого неотрицательного целого числа $n$ следующий:
$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^{n-1} a^1 b^{n-1} + C_n^n a^0 b^n$
Или, используя знак суммирования:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

Здесь $C_n^k$ — это биномиальные коэффициенты, которые также являются числами сочетаний из $n$ по $k$. Они показывают, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов. Формула для вычисления биномиального коэффициента:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n!$ (читается «эн факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. По определению принимается, что $0! = 1$.

Комбинаторный смысл: При раскрытии скобок в выражении $(a+b)^n = (a+b)(a+b)\dots(a+b)$ каждый член итоговой суммы получается выбором из каждой из $n$ скобок либо $a$, либо $b$. Член вида $a^{n-k}b^k$ получится, если из $k$ скобок мы выберем $b$, а из оставшихся $(n-k)$ скобок — $a$. Количество способов сделать такой выбор равно числу способов выбрать $k$ скобок (из которых мы возьмем $b$) из $n$ имеющихся, что и равно $C_n^k$.

Биномиальные коэффициенты можно наглядно представить в виде треугольника Паскаля, где каждый элемент равен сумме двух элементов, расположенных над ним. Строка с номером $n$ (нумерация с нуля) в треугольнике Паскаля содержит коэффициенты $C_n^k$ для $k$ от 0 до $n$.

Ответ: Формула бинома Ньютона для разложения степени двучлена $(a+b)^n$ имеет вид $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где биномиальные коэффициенты $C_n^k$ вычисляются по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Свойства биномиальных коэффициентов

Биномиальные коэффициенты $C_n^k$ обладают рядом важных свойств, которые следуют как из их комбинаторного смысла, так и из алгебраической формулы.

1. Свойство симметрии: Коэффициенты, равноудаленные от концов разложения, равны.
$C_n^k = C_n^{n-k}$
Доказательство: $C_n^{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!(n-(n-k))!} = \frac{n!}{(n-k)!k!} = C_n^k$. Комбинаторно: выбрать $k$ элементов для некоторой группы — то же самое, что выбрать $n-k$ элементов, которые в эту группу не войдут.

2. Граничные значения: Первый и последний коэффициенты разложения всегда равны единице.
$C_n^0 = C_n^n = 1$
Доказательство: $C_n^0 = \frac{n!}{0!(n-0)!} = \frac{n!}{1 \cdot n!} = 1$. В силу симметрии, $C_n^n = C_n^{n-n} = C_n^0 = 1$. Комбинаторно: существует ровно один способ выбрать 0 элементов из $n$ (выбрать пустое множество) и ровно один способ выбрать все $n$ элементов.

3. Сумма коэффициентов: Сумма всех биномиальных коэффициентов для данной степени $n$ равна $2^n$.
$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = 2^n$
Доказательство: В формуле бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$ положим $a=1$ и $b=1$. Получим $(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k 1^{n-k} 1^k$, что дает $2^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k$.

4. Знакочередующаяся сумма коэффициентов: Сумма биномиальных коэффициентов с чередующимися знаками равна нулю (для $n \ge 1$).
$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \dots + (-1)^n C_n^n = 0$
Доказательство: В формуле бинома Ньютона положим $a=1$ и $b=-1$. Получим $(1-1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k 1^{n-k} (-1)^k$, что дает $0^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k$. Отсюда следует, что сумма коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов на нечетных местах: $C_n^0 + C_n^2 + \dots = C_n^1 + C_n^3 + \dots$.

5. Тождество Паскаля (правило сложения): Каждый биномиальный коэффициент (кроме крайних) равен сумме двух коэффициентов из предыдущей строки разложения.
$C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}$ (для $1 \le k \le n-1$)
Доказательство (комбинаторное): Пусть у нас есть множество из $n$ элементов. Зафиксируем один элемент $X$. Число способов выбрать $k$ элементов ($C_n^k$) можно посчитать так: либо мы включаем элемент $X$ в нашу выборку (и тогда нам нужно добрать $k-1$ элемент из оставшихся $n-1$, что можно сделать $C_{n-1}^{k-1}$ способами), либо не включаем (и тогда нужно выбрать все $k$ элементов из оставшихся $n-1$, что можно сделать $C_{n-1}^{k}$ способами). Сумма этих способов дает общее число $C_n^k$.

Ответ: Основные свойства биномиальных коэффициентов:
1. Симметрия: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
2. Граничные значения: $C_n^0 = C_n^n = 1$.
3. Сумма: $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$.
4. Знакочередующаяся сумма: $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0$ (при $n \ge 1$).
5. Тождество Паскаля: $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}$.