Номер §7, страница 363 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §7, страница 363.

Условие.

К § 7 «Квадратичная функция, её график и свойства»

Парабола задана уравнением $y = ax^2 + bx + c$. Запишите алгоритм для определения таких характеристик параболы: направление ветвей, координаты вершины, точки пересечения с осями координат, — входными данными для которого являются значения $a, b, c$.

Пользуясь этим алгоритмом, определите, какой участок параболы целесообразно изобразить на графике. Автоматизируйте процесс составления соответствующей таблицы значений функции и постройте график по полученной таблице.

Решение.

Алгоритм для определения характеристик параболы $y = ax^2 + bx + c$

Входными данными являются коэффициенты $a$, $b$, $c$ (где $a \neq 0$).

1. Определение направления ветвей параболы.
   • Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
   • Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Нахождение координат вершины параболы.

   Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам:

   • Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
   • Ордината вершины: подставить найденное значение $x_0$ в уравнение параболы: $y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c$.
3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
   • С осью ординат (OY):
     Парабола пересекает ось OY в точке, где $x=0$. Подставляем $x=0$ в уравнение: $y = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$.
     Координаты точки пересечения с осью OY: $(0, c)$.
   • С осью абсцисс (OX):
     Парабола пересекает ось OX в точках, где $y=0$. Для этого нужно решить квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$.
     1. Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
     2. Анализируем значение дискриминанта:
        • Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Парабола пересекает ось OX в двух точках: $(x_1, 0)$ и $(x_2, 0)$.
        • Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень: $x = -\frac{b}{2a}$. Парабола касается оси OX в одной точке (в своей вершине): $(x_0, 0)$.
        • Если $D < 0$, действительных корней нет. Парабола не пересекает ось OX.

Ответ: Вышеописанный алгоритм позволяет, зная коэффициенты $a, b, c$, определить направление ветвей параболы, найти координаты ее вершины и точки пересечения с осями координат.

Определение целесообразного участка для изображения на графике

Чтобы график был информативным, на нем должны быть видны все ключевые особенности параболы: вершина и точки пересечения с осями. Поэтому участок для построения графика целесообразно выбирать следующим образом:

1. Центром участка должна быть ось симметрии параболы, проходящая через ее вершину, то есть прямая $x = x_0 = -\frac{b}{2a}$.
2. Интервал значений $x$ для построения должен быть симметричен относительно $x_0$ и достаточно широк, чтобы включить в себя все "интересные" точки:
   • Координату $x=0$ (чтобы показать точку пересечения с осью OY).
   • Корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (если они существуют), то есть точки пересечения с осью OX.
3. Таким образом, нужно найти минимальное ($x_{min}$) и максимальное ($x_{max}$) значения среди абсцисс всех этих ключевых точек ($x_0$, $x_1$, $x_2$, $0$). Затем выбрать для построения интервал, который немного шире, чем $[x_{min}, x_{max}]$, например, $[x_{min} - 1, x_{max} + 1]$, чтобы график не обрывался на ключевых точках.

Ответ: Целесообразно изображать участок параболы, который симметричен относительно ее вершины и включает в себя все точки пересечения с осями координат.

Автоматизация процесса составления таблицы и построение графика

Процесс можно автоматизировать, следуя алгоритму:

1. Выбор диапазона и шага. На основе предыдущего пункта определить начальное ($x_{start}$) и конечное ($x_{end}$) значения для построения. Выбрать шаг $\Delta x$ (например, $\Delta x = 0.5$ или $\Delta x = 1$). Чем меньше шаг, тем точнее будет график.
2. Составление таблицы. Создать таблицу из двух столбцов: $x$ и $y$.
   • Начать с $x = x_{start}$.
   • Для каждого значения $x$ вычислить соответствующее значение $y$ по формуле $y = ax^2 + bx + c$.
   • Записать пару $(x, y)$ в таблицу.
   • Увеличить $x$ на величину шага: $x = x + \Delta x$.
   • Повторять, пока $x \le x_{end}$.
   К этой таблице также следует добавить все ключевые точки (вершину, пересечения с осями), если они не совпали с узловыми точками, полученными с шагом $\Delta x$.
3. Построение графика.
   • Начертить систему координат. Выбрать подходящий масштаб по осям OX и OY на основе минимальных и максимальных значений $x$ и $y$ из таблицы.
   • Отметить на координатной плоскости все точки $(x, y)$ из полученной таблицы.
   • Соединить отмеченные точки плавной линией. Полученная кривая и будет графиком параболы.

Ответ: Автоматизация заключается в программном или последовательном вычислении координат точек параболы на выбранном участке с заданным шагом, занесении их в таблицу и последующем нанесении этих точек на координатную плоскость с соединением их плавной кривой.