Номер §8, страница 363 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §8, страница 363.

Условие.

К § 8 «Решение квадратных неравенств»

Пользуясь таблицей, приведённой в § 8, запишите алгоритм для решения квадратного неравенства $ax^2 + bx + c > 0$, входными данными для которого являются значения $a, b, c$.

Какие входные данные надо добавить к этому алгоритму и как изменить его, чтобы с его помощью решать также неравенства $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \ge 0$, $ax^2 + bx + c \le 0$?

Решение.

Пользуясь таблицей, приведённой в § 8, запишите алгоритм для решения квадратного неравенства $ax^2 + bx + c > 0$, входными данными для которого являются значения $a, b, c$.

Алгоритм решения квадратного неравенства вида $ax^2 + bx + c > 0$ основан на анализе свойств соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ и её графика (параболы).

1. Ввод исходных данных. Получить значения коэффициентов $a, b, c$. Необходимо убедиться, что $a \neq 0$, иначе неравенство не является квадратным.

2. Определение направления ветвей параболы. Знак старшего коэффициента $a$ определяет, куда направлены ветви параболы.

   • Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

   • Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Нахождение корней уравнения. Решить соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, чтобы найти точки пересечения параболы с осью абсцисс (Ox).

   • Вычислить дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

   • В зависимости от значения $D$ определить количество действительных корней:

     • Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$.

     • Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (двойной кратности): $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Парабола касается оси Ox в этой точке.

     • Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox.

4. Определение решения неравенства. На основе знака $a$ и найденных корней определить, на каких промежутках функция $y = ax^2 + bx + c$ принимает положительные значения (т.е. её график находится выше оси Ox).

   • Случай 1: $a > 0$ (ветви вверх)

     • При $D > 0$ (два корня $x_1$ и $x_2$, пусть $x_1 < x_2$): $y > 0$ на промежутках $(-\infty; x_1) \cup (x_2; \infty)$.

     • При $D = 0$ (один корень $x_0$): $y > 0$ для всех $x$, кроме $x = x_0$. Решение: $(-\infty; x_0) \cup (x_0; \infty)$.

     • При $D < 0$ (нет корней): $y > 0$ для всех действительных $x$. Решение: $(-\infty; \infty)$.

   • Случай 2: $a < 0$ (ветви вниз)

     • При $D > 0$ (два корня $x_1$ и $x_2$, пусть $x_1 < x_2$): $y > 0$ на промежутке $(x_1; x_2)$.

     • При $D = 0$ (один корень $x_0$): функция $y$ никогда не бывает больше нуля. Решений нет, $x \in \emptyset$.

     • При $D < 0$ (нет корней): функция $y$ всегда меньше нуля. Решений нет, $x \in \emptyset$.

Ответ: Алгоритм представлен выше и состоит из четырех шагов: 1) ввод данных ($a, b, c$), 2) определение направления ветвей параболы по знаку $a$, 3) нахождение корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ через дискриминант, 4) определение решения неравенства на основе знака $a$ и найденных корней.

Какие входные данные надо добавить к этому алгоритму и как изменить его, чтобы с его помощью решать также неравенства $ax^2 + bx + c < 0, ax^2 + bx + c \geq 0, ax^2 + bx + c \leq 0$?

Чтобы обобщить алгоритм для решения всех видов квадратных неравенств, необходимо внести следующие изменения:

1. Добавить входные данные: к исходным данным ($a, b, c$) нужно добавить ещё один параметр — знак неравенства. Этот параметр может быть символом или кодом, соответствующим одному из четырёх знаков: $>, <, \geq, \leq$.

2. Изменить алгоритм: первые три шага алгоритма (ввод коэффициентов, анализ параболы и нахождение корней) остаются без изменений. Основные изменения вносятся в шаг 4, где определяется итоговое решение. Этот шаг должен теперь учитывать не только знак $a$ и значение $D$, но и переданный знак неравенства.

Модифицированный шаг 4 будет рассматривать все возможные комбинации:

Шаг 4 (модифицированный). Определение решения в зависимости от знака $a$, $D$ и знака неравенства.

• Если $a > 0$ (ветви параболы вверх):

  • При $D > 0$ (два корня $x_1 < x_2$):

    • для $ax^2 + bx + c > 0$: $x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; \infty)$

    • для $ax^2 + bx + c < 0$: $x \in (x_1; x_2)$

    • для $ax^2 + bx + c \geq 0$: $x \in (-\infty; x_1] \cup [x_2; \infty)$

    • для $ax^2 + bx + c \leq 0$: $x \in [x_1; x_2]$

  • При $D = 0$ (один корень $x_0$):

    • для $ax^2 + bx + c > 0$: $x \in (-\infty; x_0) \cup (x_0; \infty)$

    • для $ax^2 + bx + c < 0$: решений нет, $x \in \emptyset$

    • для $ax^2 + bx + c \geq 0$: $x \in (-\infty; \infty)$

    • для $ax^2 + bx + c \leq 0$: $x = x_0$

  • При $D < 0$ (нет корней):

    • для $ax^2 + bx + c > 0$: $x \in (-\infty; \infty)$

    • для $ax^2 + bx + c < 0$: решений нет, $x \in \emptyset$

    • для $ax^2 + bx + c \geq 0$: $x \in (-\infty; \infty)$

    • для $ax^2 + bx + c \leq 0$: решений нет, $x \in \emptyset$

• Если $a < 0$ (ветви параболы вниз):

  • При $D > 0$ (два корня $x_1 < x_2$):

    • для $ax^2 + bx + c > 0$: $x \in (x_1; x_2)$

    • для $ax^2 + bx + c < 0$: $x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; \infty)$

    • для $ax^2 + bx + c \geq 0$: $x \in [x_1; x_2]$

    • для $ax^2 + bx + c \leq 0$: $x \in (-\infty; x_1] \cup [x_2; \infty)$

  • При $D = 0$ (один корень $x_0$):

    • для $ax^2 + bx + c > 0$: решений нет, $x \in \emptyset$

    • для $ax^2 + bx + c < 0$: $x \in (-\infty; x_0) \cup (x_0; \infty)$

    • для $ax^2 + bx + c \geq 0$: $x = x_0$

    • для $ax^2 + bx + c \leq 0$: $x \in (-\infty; \infty)$

  • При $D < 0$ (нет корней):

    • для $ax^2 + bx + c > 0$: решений нет, $x \in \emptyset$

    • для $ax^2 + bx + c < 0$: $x \in (-\infty; \infty)$

    • для $ax^2 + bx + c \geq 0$: решений нет, $x \in \emptyset$

    • для $ax^2 + bx + c \leq 0$: $x \in (-\infty; \infty)$

Ответ: Необходимо добавить в качестве входных данных знак неравенства ($>, <, \geq, \leq$) и модифицировать шаг 4 алгоритма, чтобы он выбирал правильное решение из всех возможных случаев в зависимости от знаков $a$, $D$ и знака неравенства, как подробно описано выше.