Страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

712. Рассматриваются квадратичные функции $y = x^2 + px + q$, для которых $p + q = 5$. Докажите, что параболы, являющиеся графиками этих функций, пересекаются в одной точке.

Рассмотрим семейство квадратичных функций $y = x^2 + px + q$, для которых выполняется условие $p + q = 5$.

Наша задача — доказать, что графики всех таких функций (параболы) проходят через одну общую точку, координаты которой не зависят от параметров $p$ и $q$.

Из заданного условия $p + q = 5$ выразим один из параметров через другой. Например, выразим $q$ через $p$:

$q = 5 - p$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение функции:

$y = x^2 + px + (5 - p)$

Мы получили уравнение, которое описывает все параболы данного семейства и зависит только от одного параметра $p$. Чтобы найти общую точку для всех этих парабол, нам нужно найти такую точку $(x, y)$, координаты которой удовлетворяют этому уравнению при любом значении параметра $p$.

Для этого перегруппируем слагаемые в уравнении, чтобы выделить множитель при $p$:

$y = x^2 + 5 + px - p$

$y = (x^2 + 5) + p(x - 1)$

Это равенство должно быть верным для любого значения $p$. Такое возможно только в том случае, если значение выражения не зависит от $p$. Это условие выполняется, когда коэффициент при $p$ равен нулю.

Приравняем выражение в скобках, являющееся множителем при $p$, к нулю:

$x - 1 = 0$

Отсюда находим абсциссу общей точки:

$x = 1$

Теперь, зная абсциссу, найдем ординату этой точки. Подставим значение $x = 1$ в уравнение семейства парабол:

$y = (1^2 + 5) + p(1 - 1)$

$y = (1 + 5) + p \cdot 0$

$y = 6$

Таким образом, мы получили координаты точки $(1, 6)$, которые не зависят от параметра $p$. Это означает, что любая парабола вида $y = x^2 + px + q$, для которой $p + q = 5$, проходит через точку $(1, 6)$. Следовательно, все параболы данного семейства пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.

Ответ: Все параболы данного семейства пересекаются в одной точке с координатами $(1, 6)$.