Страница 220 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

723. Найдите первый член арифметической прогрессии $(y_n)$, если $y_{17} = 22$, а разность прогрессии $d = 0,5$.

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии $(y_n)$ используется формула: $y_n = y_1 + (n-1)d$, где $y_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена.

В данной задаче нам известны семнадцатый член прогрессии $y_{17} = 22$, его номер $n = 17$ и разность прогрессии $d = 0.5$. Нам нужно найти первый член прогрессии $y_1$.

Подставим известные значения в формулу:

$y_{17} = y_1 + (17-1)d$

$22 = y_1 + (16) \times 0.5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y_1$. Сначала вычислим произведение:

$16 \times 0.5 = 8$

Подставим результат обратно в уравнение:

$22 = y_1 + 8$

Чтобы найти $y_1$, вычтем 8 из обеих частей уравнения:

$y_1 = 22 - 8$

$y_1 = 14$

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 14.

Ответ: 14

724. Найдите формулу n-го члена арифметической прогрессии:

1) $-5, -7, -9, -11, ...;$

2) $2, 2 \frac{1}{6}, 2 \frac{1}{3}, 2 \frac{1}{2}, ...;$

3) $a^2, 2a^2, 3a^2, 4a^2, ...;$

4) $a + 3, a + 1, a - 1, a - 3, ... .$

Для нахождения формулы n-го члена арифметической прогрессии используется общая формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n$ — n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

1) Для последовательности $-5, -7, -9, -11, ...$

Первый член прогрессии $a_1 = -5$.

Найдем разность прогрессии, вычтя из второго члена первый: $d = a_2 - a_1 = -7 - (-5) = -7 + 5 = -2$.

Подставим найденные значения $a_1$ и $d$ в общую формулу:

$a_n = -5 + (n-1)(-2)$

Упростим полученное выражение:

$a_n = -5 - 2n + 2 = -3 - 2n$.

Ответ: $a_n = -3 - 2n$.

2) Для последовательности $2, 2\frac{1}{6}, 2\frac{1}{3}, 2\frac{1}{2}, ...$

Первый член прогрессии $a_1 = 2$.

Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 2\frac{1}{6} - 2 = \frac{1}{6}$.

Подставим значения в общую формулу:

$a_n = 2 + (n-1)\frac{1}{6}$

Упростим выражение, приведя к общему знаменателю:

$a_n = 2 + \frac{n-1}{6} = \frac{12}{6} + \frac{n-1}{6} = \frac{12 + n - 1}{6} = \frac{n+11}{6}$.

Ответ: $a_n = \frac{n+11}{6}$.

3) Для последовательности $a^2, 2a^2, 3a^2, 4a^2, ...$

Первый член прогрессии $a_1 = a^2$.

Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 2a^2 - a^2 = a^2$.

Подставим значения в общую формулу:

$a_n = a^2 + (n-1)a^2$

Упростим выражение:

$a_n = a^2 + na^2 - a^2 = na^2$.

Ответ: $a_n = na^2$.

4) Для последовательности $a+3, a+1, a-1, a-3, ...$

Первый член прогрессии $a_1 = a+3$.

Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = (a+1) - (a+3) = a+1-a-3 = -2$.

Подставим значения в общую формулу:

$a_n = (a+3) + (n-1)(-2)$

Упростим выражение:

$a_n = a+3 - 2n + 2 = a+5 - 2n$.

Ответ: $a_n = a+5 - 2n$.

725. Является ли членом арифметической прогрессии ($c_n$):

1) число 20,4, если $c_1 = 11,4$, а разность прогрессии $d = 0,6$;

2) число 38, если $c_1 = 8$, а разность прогрессии $d = 1,4$?

В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Для того чтобы определить, является ли некоторое число членом арифметической прогрессии, мы используем формулу n-го члена прогрессии. Формула имеет вид:

$c_n = c_1 + (n-1)d$

Здесь $c_n$ — это n-й член прогрессии, $c_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — порядковый номер члена.

Чтобы проверить, принадлежит ли число прогрессии, нужно подставить его вместо $c_n$ в формулу и решить уравнение относительно $n$. Если полученное значение $n$ является натуральным числом (то есть целым и положительным), то число является членом прогрессии, а $n$ — его номер. В противном случае — не является.

1)

Проверим, является ли число 20,4 членом арифметической прогрессии $(c_n)$, в которой первый член $c_1 = 11,4$ и разность $d = 0,6$.

Подставим известные значения в формулу:

$20,4 = 11,4 + (n-1) \cdot 0,6$

Выразим и найдем $n$:

$(n-1) \cdot 0,6 = 20,4 - 11,4$

$(n-1) \cdot 0,6 = 9$

$n-1 = \frac{9}{0,6}$

$n-1 = \frac{90}{6}$

$n-1 = 15$

$n = 15 + 1$

$n = 16$

Так как $n = 16$ является натуральным числом, то число 20,4 является членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: да, является. Номер этого члена равен 16.

2)

Проверим, является ли число 38 членом арифметической прогрессии $(c_n)$, в которой первый член $c_1 = 8$ и разность $d = 1,4$.

Подставим известные значения в формулу:

$38 = 8 + (n-1) \cdot 1,4$

Выразим и найдем $n$:

$(n-1) \cdot 1,4 = 38 - 8$

$(n-1) \cdot 1,4 = 30$

$n-1 = \frac{30}{1,4}$

$n-1 = \frac{300}{14}$

$n-1 = \frac{150}{7}$

Поскольку $\frac{150}{7}$ не является целым числом ($150 \div 7 = 21$ с остатком 3), то и значение $n$ не будет натуральным числом:

$n = \frac{150}{7} + 1 = \frac{150}{7} + \frac{7}{7} = \frac{157}{7} \approx 22,43$

Так как номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, число 38 не является членом данной прогрессии.

Ответ: нет, не является.

726. Найдите номер члена арифметической прогрессии 8,1; 8,5; 8,9; 9,3; ..., равного 13,7.

Дана арифметическая прогрессия ($a_n$), где первые члены равны 8,1; 8,5; 8,9; 9,3; ...

Для решения задачи нам нужно определить первый член прогрессии ($a_1$) и ее разность ($d$).

Первый член прогрессии известен из условия: $a_1 = 8.1$.

Разность арифметической прогрессии ($d$) — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Найдем ее, вычислив разность между вторым и первым членами:

$d = a_2 - a_1 = 8.5 - 8.1 = 0.4$.

Для уверенности можно проверить разность для следующей пары членов: $a_3 - a_2 = 8.9 - 8.5 = 0.4$. Разность постоянна и равна 0,4.

Теперь нам нужно найти номер ($n$) члена прогрессии, который равен 13,7. Обозначим искомый член как $a_n = 13.7$.

Воспользуемся общей формулой для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим в эту формулу известные нам значения: $a_n = 13.7$, $a_1 = 8.1$ и $d = 0.4$.

$13.7 = 8.1 + (n-1) \cdot 0.4$

Теперь решим полученное уравнение относительно $n$. Сначала перенесем 8,1 в левую часть уравнения:

$13.7 - 8.1 = (n-1) \cdot 0.4$

$5.6 = (n-1) \cdot 0.4$

Теперь разделим обе части уравнения на 0,4, чтобы найти значение выражения $(n-1)$:

$n-1 = \frac{5.6}{0.4}$

Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель на 10:

$n-1 = \frac{56}{4}$

$n-1 = 14$

Наконец, найдем $n$, перенеся -1 в правую часть:

$n = 14 + 1$

$n = 15$

Следовательно, член арифметической прогрессии, равный 13,7, является 15-м по счету.

Ответ: 15.

727. Найдите второй член арифметической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно $-6$ и $12$.

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_n$. По условию задачи, нам известны её первый и третий члены:
$a_1 = -6$
$a_3 = 12$
Требуется найти второй член этой прогрессии, $a_2$. Для решения можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: Использование характеристического свойства арифметической прогрессии

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, каждый её член (начиная со второго) является средним арифметическим соседних с ним членов. Для второго члена $a_2$ это означает, что он равен среднему арифметическому первого ($a_1$) и третьего ($a_3$) членов.
Формула выглядит следующим образом:
$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$
Подставим известные значения в эту формулу:
$a_2 = \frac{-6 + 12}{2}$
$a_2 = \frac{6}{2}$
$a_2 = 3$
Ответ: 3

Способ 2: Нахождение разности прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d$ – разность прогрессии.
Используем эту формулу для третьего члена $a_3$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
Подставим известные значения $a_1 = -6$ и $a_3 = 12$ в полученное уравнение:
$12 = -6 + 2d$
Теперь решим это уравнение относительно $d$:
$2d = 12 - (-6)$
$2d = 12 + 6$
$2d = 18$
$d = \frac{18}{2} = 9$
Мы нашли разность прогрессии, она равна 9. Теперь, чтобы найти второй член $a_2$, нужно к первому члену $a_1$ прибавить разность $d$:
$a_2 = a_1 + d$
$a_2 = -6 + 9$
$a_2 = 3$
Ответ: 3

728. Восьмой и десятый члены арифметической прогрессии равны соответственно 3.5 и 2.7. Чему равен девятый член прогрессии?

Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия. По условию задачи нам известны восьмой член прогрессии $a_8 = 3.5$ и десятый член $a_{10} = 2.7$. Необходимо найти девятый член прогрессии, $a_9$.

Для решения этой задачи можно использовать характеристическое свойство арифметической прогрессии: каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов (предыдущего и последующего).

В нашем случае девятый член $a_9$ находится ровно посередине между восьмым членом $a_8$ и десятым членом $a_{10}$. Следовательно, $a_9$ является их средним арифметическим. Формула для его нахождения выглядит так:

$a_9 = \frac{a_8 + a_{10}}{2}$

Теперь подставим в эту формулу известные значения $a_8$ и $a_{10}$ и произведем вычисление:

$a_9 = \frac{3.5 + 2.7}{2} = \frac{6.2}{2} = 3.1$

Таким образом, девятый член арифметической прогрессии равен 3,1.

В качестве альтернативного способа или проверки можно сначала найти разность прогрессии $d$. Связь между десятым и восьмым членами выражается формулой $a_{10} = a_8 + 2d$. Выразим и найдем $d$:
$2d = a_{10} - a_8$
$2d = 2.7 - 3.5$
$2d = -0.8$
$d = -0.4$

Зная разность прогрессии, можно найти девятый член, прибавив $d$ к восьмому члену:
$a_9 = a_8 + d = 3.5 + (-0.4) = 3.1$
Результаты обоих способов совпадают.

Ответ: 3,1

729. Найдите первый член арифметической прогрессии $(b_n)$, если $b_5 = 11$, $b_{11} = -7$.

Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $(b_n)$ воспользуемся общей формулой n-го члена: $b_n = b_1 + (n-1)d$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи нам известны два члена этой прогрессии:

• $b_5 = 11$
• $b_{11} = -7$

Подставим эти значения в формулу, чтобы получить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($b_1$ и $d$):

Для $n=5$: $b_5 = b_1 + (5-1)d \implies 11 = b_1 + 4d$

Для $n=11$: $b_{11} = b_1 + (11-1)d \implies -7 = b_1 + 10d$

Мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} b_1 + 4d = 11 \\ b_1 + 10d = -7 \end{cases}$

Для того чтобы найти разность прогрессии $d$, вычтем первое уравнение из второго:

$(b_1 + 10d) - (b_1 + 4d) = -7 - 11$

$b_1 + 10d - b_1 - 4d = -18$

$6d = -18$

$d = \frac{-18}{6} = -3$

Теперь мы знаем разность прогрессии $d = -3$. Подставим это значение в любое из уравнений системы, чтобы найти $b_1$. Воспользуемся первым уравнением:

$b_1 + 4d = 11$

$b_1 + 4(-3) = 11$

$b_1 - 12 = 11$

$b_1 = 11 + 12$

$b_1 = 23$

Ответ: 23

730. Чему равна разность арифметической прогрессии $(x_n)$, если $x_8 = 58$, $x_{15} = 16$?

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой n-го члена: $x_n = x_1 + (n-1)d$, где $x_1$ — первый член прогрессии.

Согласно условию задачи, нам известны восьмой и пятнадцатый члены прогрессии: $x_8 = 58$ и $x_{15} = 16$.

Запишем выражения для этих членов, используя указанную формулу:
Для $n=8$: $x_8 = x_1 + (8-1)d \Rightarrow 58 = x_1 + 7d$.
Для $n=15$: $x_{15} = x_1 + (15-1)d \Rightarrow 16 = x_1 + 14d$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $x_1$ и $d$:
$\begin{cases} x_1 + 7d = 58 \\ x_1 + 14d = 16 \end{cases}$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить переменную $x_1$ и найти $d$:
$(x_1 + 14d) - (x_1 + 7d) = 16 - 58$
$x_1 + 14d - x_1 - 7d = -42$
$7d = -42$
$d = \frac{-42}{7}$
$d = -6$

Альтернативный способ:
Можно также использовать формулу, которая связывает два любых члена арифметической прогрессии ($x_n$ и $x_m$) и ее разность $d$:
$x_n = x_m + (n-m)d$
Подставим в нее наши данные, приняв $n=15$ и $m=8$:
$x_{15} = x_8 + (15-8)d$
$16 = 58 + 7d$
Выразим $7d$:
$7d = 16 - 58$
$7d = -42$
И найдем $d$:
$d = -6$

Ответ: -6

731. Как изменится разность конечной арифметической прогрессии, если переставить её члены в обратном порядке?

Пусть дана конечная арифметическая прогрессия $(a_n)$, состоящая из $n$ членов: $a_1, a_2, \dots, a_n$. Разностью этой прогрессии является число $d$. По определению арифметической прогрессии, разность между любым последующим и предыдущим членом постоянна и равна $d$:

$d = a_{k+1} - a_k$ для любого натурального $k$ от $1$ до $n-1$.

Теперь составим новую последовательность $(b_n)$, переставив члены исходной прогрессии в обратном порядке. Члены новой последовательности будут следующими: $b_1, b_2, \dots, b_n$, где:

$b_1 = a_n$, $b_2 = a_{n-1}$, и в общем виде $b_k = a_{n-k+1}$.

Чтобы определить, как изменилась разность, найдем разность $d'$ новой последовательности. Для этого вычтем из произвольного $(k+1)$-го члена $k$-й член (для $1 \le k < n$):

$d' = b_{k+1} - b_k$

Подставим в это равенство выражения для членов $b_k$ и $b_{k+1}$ через члены исходной прогрессии $(a_n)$:

$b_{k+1} = a_{n-(k+1)+1} = a_{n-k}$

$b_k = a_{n-k+1}$

Следовательно, разность $d'$ равна:

$d' = a_{n-k} - a_{n-k+1}$

Чтобы сравнить полученное выражение с разностью $d$ исходной прогрессии, вынесем знак минус за скобки:

$d' = -(a_{n-k+1} - a_{n-k})$

Выражение в скобках, $a_{n-k+1} - a_{n-k}$, является разностью между $(n-k+1)$-м и $(n-k)$-м членами исходной прогрессии. По определению, эта разность равна $d$.

Таким образом, мы получаем, что разность новой последовательности $d'$ связана с разностью исходной прогрессии $d$ следующим соотношением:

$d' = -d$

Это доказывает, что последовательность, полученная перестановкой членов арифметической прогрессии в обратном порядке, также является арифметической прогрессией. Ее разность равна разности исходной прогрессии, но с противоположным знаком.

Ответ: Разность конечной арифметической прогрессии изменит свой знак на противоположный.

переставить ее члены в обратном порядке.

732. Сколько положительных членов содержит арифметическая прогрессия $5,2; 4,9; 4,6; \ldots ?$

Дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, первые члены которой равны 5,2; 4,9; 4,6; ...

Для решения задачи необходимо определить параметры этой прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = 5,2$.

Найдем разность арифметической прогрессии $d$, которая равна разности между любым последующим и предыдущим членом: $d = a_2 - a_1 = 4,9 - 5,2 = -0,3$.

Чтобы найти количество положительных членов прогрессии, нужно определить, для каких номеров $n$ выполняется неравенство $a_n > 0$.

Используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения $a_1 = 5,2$ и $d = -0,3$ в неравенство $a_n > 0$: $5,2 + (n-1)(-0,3) > 0$.

Решим полученное неравенство относительно $n$: $5,2 - 0,3n + 0,3 > 0$
$5,5 - 0,3n > 0$
$5,5 > 0,3n$

Разделим обе части неравенства на 0,3: $n < \frac{5,5}{0,3}$
$n < \frac{55}{3}$
$n < 18\frac{1}{3}$

Так как номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом, то наибольшее значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 18. Это означает, что первые 18 членов прогрессии будут положительными.

Ответ: 18

733. Какой номер у первого положительного члена арифметической прогрессии $-10{,}2; -9{,}5; -8{,}8; \dots ?$

Чтобы найти номер первого положительного члена арифметической прогрессии, необходимо определить её первый член ($a_1$) и разность ($d$).

Дана последовательность: $-10,2; -9,5; -8,8; \dots$

Первый член прогрессии $a_1 = -10,2$.

Разность арифметической прогрессии $d$ найдем как разницу между вторым и первым членами:
$d = a_2 - a_1 = -9,5 - (-10,2) = -9,5 + 10,2 = 0,7$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Мы ищем номер $n$ первого положительного члена, то есть такого члена, для которого выполняется неравенство $a_n > 0$.
Подставим известные значения в формулу и решим неравенство:
$-10,2 + (n-1) \cdot 0,7 > 0$

Перенесем $-10,2$ в правую часть неравенства:
$(n-1) \cdot 0,7 > 10,2$

Разделим обе части на $0,7$:
$n-1 > \frac{10,2}{0,7}$
$n-1 > \frac{102}{7}$
$n-1 > 14\frac{4}{7}$

Перенесем $-1$ в правую часть:
$n > 14\frac{4}{7} + 1$
$n > 15\frac{4}{7}$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, наименьшее целое число, которое больше $15\frac{4}{7}$, — это 16.
Таким образом, первый положительный член данной арифметической прогрессии имеет номер 16.

Ответ: 16.

грессии $10,2; 9,3; 8,4; \dots$.

734. Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии $7,2; 6,6; 6; \dots$.

Для того чтобы найти первый отрицательный член арифметической прогрессии, сначала определим ее основные параметры: первый член и разность.

Дана последовательность: 7,2; 6,6; 6; ...

Первый член прогрессии $a_1 = 7,2$.

Разность арифметической прогрессии $d$ — это значение, на которое каждый следующий член отличается от предыдущего. Найдем ее, вычтя из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = 6,6 - 7,2 = -0,6$.

Нам нужно найти первый член прогрессии $a_n$, который будет меньше нуля, то есть $a_n < 0$.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения в эту формулу и составим неравенство:
$7,2 + (n-1)(-0,6) < 0$

Теперь решим это неравенство относительно $n$:
$7,2 - 0,6n + 0,6 < 0$
$7,8 - 0,6n < 0$
Перенесем $0,6n$ в правую часть:
$7,8 < 0,6n$
Разделим обе части неравенства на 0,6:
$n > \frac{7,8}{0,6}$
$n > \frac{78}{6}$
$n > 13$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, наименьшее целое число, которое больше 13, это 14. Таким образом, первый отрицательный член прогрессии будет иметь номер $n=14$.

Теперь найдем значение этого члена, $a_{14}$:
$a_{14} = a_1 + (14-1)d = 7,2 + 13 \times (-0,6)$
$a_{14} = 7,2 - 7,8$
$a_{14} = -0,6$

Ответ: -0,6

735. Между числами -6 и 3 вставьте пять таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию.

Пусть искомые числа вместе с данными числами -6 и 3 образуют арифметическую прогрессию $(a_n)$. В этой прогрессии первый член $a_1 = -6$. Поскольку между -6 и 3 нужно вставить пять чисел, то всего в прогрессии будет $1 + 5 + 1 = 7$ членов. Следовательно, число 3 является седьмым членом этой прогрессии, то есть $a_7 = 3$.

Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения $n=7$, $a_1 = -6$ и $a_7 = 3$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d$

$3 = -6 + 6d$

Теперь решим это уравнение относительно $d$:

$6d = 3 - (-6)$

$6d = 9$

$d = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$

Зная первый член $a_1$ и разность $d$, мы можем найти пять вставленных чисел, которые являются членами прогрессии со второго ($a_2$) по шестой ($a_6$). Каждый следующий член получается путем прибавления разности $d$ к предыдущему:

$a_2 = a_1 + d = -6 + 1.5 = -4.5$

$a_3 = a_2 + d = -4.5 + 1.5 = -3$

$a_4 = a_3 + d = -3 + 1.5 = -1.5$

$a_5 = a_4 + d = -1.5 + 1.5 = 0$

$a_6 = a_5 + d = 0 + 1.5 = 1.5$

Для проверки убедимся, что седьмой член равен 3: $a_7 = a_6 + d = 1.5 + 1.5 = 3$. Это совпадает с условием задачи.

Таким образом, пять чисел, которые нужно вставить между -6 и 3, это -4,5; -3; -1,5; 0; 1,5.

Ответ: -4,5; -3; -1,5; 0; 1,5.

736. Какие четыре числа надо вставить между числами 4 и -5, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию?

По условию задачи, нам нужно вставить четыре числа между числами 4 и -5 так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. Обозначим эту прогрессию как $(a_n)$.

В этой прогрессии число 4 будет первым членом, а число -5 — последним. Между ними находятся еще четыре члена. Таким образом, всего в прогрессии будет $2 + 4 = 6$ членов.

Мы имеем:

Первый член прогрессии: $a_1 = 4$.
Шестой член прогрессии: $a_6 = -5$.
Общее количество членов: $n = 6$.

Для нахождения неизвестных членов нам нужно сначала определить разность арифметической прогрессии, $d$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим в формулу известные значения для $n=6$:

$a_6 = a_1 + (6-1)d$

$-5 = 4 + 5d$

Теперь решим это линейное уравнение, чтобы найти $d$:

$5d = -5 - 4$

$5d = -9$

$d = -\frac{9}{5} = -1.8$

Теперь, зная первый член $a_1$ и разность $d$, мы можем последовательно найти четыре числа, которые нужно вставить. Это будут второй, третий, четвертый и пятый члены прогрессии.

Второй член: $a_2 = a_1 + d = 4 + (-1.8) = 2.2$
Третий член: $a_3 = a_2 + d = 2.2 + (-1.8) = 0.4$
Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = 0.4 + (-1.8) = -1.4$
Пятый член: $a_5 = a_4 + d = -1.4 + (-1.8) = -3.2$

Для проверки убедимся, что следующий член, $a_6$, равен -5:

$a_6 = a_5 + d = -3.2 + (-1.8) = -5$

Результат совпадает с условием. Таким образом, искомые числа найдены верно.

Ответ: 2,2; 0,4; -1,4; -3,2.

737. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_3 + a_7 = 30$ и $a_6 + a_{16} = 60;$

2) $a_4 + a_{10} = 36$ и $a_5 \cdot a_{11} = 340.$

1)

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Сначала выразим члены прогрессии, данные в условии, через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d$

$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$

$a_{16} = a_1 + (16-1)d = a_1 + 15d$

Теперь подставим эти выражения в данные уравнения, чтобы составить систему:

Из первого уравнения $a_3 + a_7 = 30$ получаем:

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) = 30$

$2a_1 + 8d = 30$

Из второго уравнения $a_6 + a_{16} = 60$ получаем:

$(a_1 + 5d) + (a_1 + 15d) = 60$

$2a_1 + 20d = 60$

У нас получилась система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\\begin{cases} 2a_1 + 8d = 30 \\\\ 2a_1 + 20d = 60 \\end{cases}$

Для упрощения разделим оба уравнения на 2:

$\\begin{cases} a_1 + 4d = 15 \\\\ a_1 + 10d = 30 \\end{cases}$

Теперь решим систему. Вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 10d) - (a_1 + 4d) = 30 - 15$

$6d = 15$

$d = \\frac{15}{6} = \\frac{5}{2} = 2.5$

Подставим найденное значение $d$ в первое упрощенное уравнение ($a_1 + 4d = 15$), чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 4(2.5) = 15$

$a_1 + 10 = 15$

$a_1 = 5$

Ответ: $a_1 = 5, d = 2.5$.

2)

Так же, как и в первом пункте, используем формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$. Выразим нужные нам члены прогрессии:

$a_4 = a_1 + 3d$

$a_{10} = a_1 + 9d$

$a_5 = a_1 + 4d$

$a_{11} = a_1 + 10d$

Подставим эти выражения в первое уравнение $a_4 + a_{10} = 36$:

$(a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 36$

$2a_1 + 12d = 36$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a_1 + 6d = 18$

Из этого уравнения выразим $a_1$ через $d$:

$a_1 = 18 - 6d$

Теперь подставим это выражение для $a_1$ во второе уравнение $a_5 \cdot a_{11} = 340$:

$(a_1 + 4d) \cdot (a_1 + 10d) = 340$

$((18 - 6d) + 4d) \cdot ((18 - 6d) + 10d) = 340$

$(18 - 2d) \cdot (18 + 4d) = 340$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$18 \cdot 18 + 18 \cdot 4d - 2d \cdot 18 - 2d \cdot 4d = 340$

$324 + 72d - 36d - 8d^2 = 340$

$324 + 36d - 8d^2 = 340$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-8d^2 + 36d + 324 - 340 = 0$

$-8d^2 + 36d - 16 = 0$

Разделим все уравнение на -4 для упрощения:

$2d^2 - 9d + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $d$, например, с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49$

Найдем корни уравнения:

$d_1 = \\frac{-b + \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{9 + \\sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \\frac{9 + 7}{4} = \\frac{16}{4} = 4$

$d_2 = \\frac{-b - \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{9 - \\sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \\frac{9 - 7}{4} = \\frac{2}{4} = 0.5$

Мы получили два возможных значения для разности прогрессии. Для каждого из них найдем соответствующий первый член $a_1$, используя ранее полученную формулу $a_1 = 18 - 6d$.

Случай 1: если $d = 4$

$a_1 = 18 - 6 \cdot 4 = 18 - 24 = -6$

Случай 2: если $d = 0.5$

$a_1 = 18 - 6 \cdot 0.5 = 18 - 3 = 15$

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две пары значений ($a_1, d$).

Ответ: $a_1 = -6, d = 4$ или $a_1 = 15, d = 0.5$.

738. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_5 + a_{12} = 41$ и $a_{10} + a_{14} = 62$;

2) $a_7 + a_{13} = -104$ и $a_2 \cdot a_6 = -240$.

1) Для нахождения первого члена $a_1$ и разности $d$ арифметической прогрессии воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Нам даны два условия в виде уравнений:

$a_5 + a_{12} = 41$

$a_{10} + a_{14} = 62$

Выразим каждый член прогрессии в этих уравнениях через $a_1$ и $d$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

$a_{14} = a_1 + (14-1)d = a_1 + 13d$

Подставим эти выражения в исходные уравнения и получим систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

1. $(a_1 + 4d) + (a_1 + 11d) = 41 \implies 2a_1 + 15d = 41$

2. $(a_1 + 9d) + (a_1 + 13d) = 62 \implies 2a_1 + 22d = 62$

Получаем систему:

$\begin{cases} 2a_1 + 15d = 41 \\ 2a_1 + 22d = 62 \end{cases}$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:

$(2a_1 + 22d) - (2a_1 + 15d) = 62 - 41$

$7d = 21$

$d = \frac{21}{7} = 3$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член $a_1$, подставив значение $d$ в любое из уравнений системы. Возьмем первое уравнение:

$2a_1 + 15 \cdot 3 = 41$

$2a_1 + 45 = 41$

$2a_1 = 41 - 45$

$2a_1 = -4$

$a_1 = \frac{-4}{2} = -2$

Проверка: $a_1 = -2$, $d=3$.

$a_5 + a_{12} = (-2+4\cdot3) + (-2+11\cdot3) = 10 + 31 = 41$.

$a_{10} + a_{14} = (-2+9\cdot3) + (-2+13\cdot3) = 25 + 37 = 62$.

Оба условия выполняются.

Ответ: $a_1 = -2$, $d = 3$.

2) Условия для этого пункта:

$a_7 + a_{13} = -104$

$a_2 \cdot a_6 = -240$

Снова используем формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$. Начнем с первого уравнения:

$(a_1 + (7-1)d) + (a_1 + (13-1)d) = -104$

$(a_1 + 6d) + (a_1 + 12d) = -104$

$2a_1 + 18d = -104$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a_1 + 9d = -52$

Из этого уравнения выразим $a_1$ через $d$:

$a_1 = -52 - 9d$

Теперь преобразуем второе уравнение:

$a_2 = a_1 + d$

$a_6 = a_1 + 5d$

Подставим эти выражения в уравнение $a_2 \cdot a_6 = -240$:

$(a_1 + d)(a_1 + 5d) = -240$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $a_1$, полученное ранее ($a_1 = -52 - 9d$):

$(-52 - 9d + d)(-52 - 9d + 5d) = -240$

$(-52 - 8d)(-52 - 4d) = -240$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$(-4)(13 + 2d) \cdot (-4)(13 + d) = -240$

$16(13 + 2d)(13 + d) = -240$

$(13 + 2d)(13 + d) = \frac{-240}{16} = -15$

Раскроем скобки в левой части:

$169 + 13d + 26d + 2d^2 = -15$

$2d^2 + 39d + 169 + 15 = 0$

$2d^2 + 39d + 184 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $d$. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 39^2 - 4 \cdot 2 \cdot 184 = 1521 - 1472 = 49 = 7^2$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$d_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-39 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-46}{4} = -11.5$

$d_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-39 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{-32}{4} = -8$

Таким образом, у задачи есть два возможных решения. Для каждого значения $d$ найдем соответствующее $a_1$ по формуле $a_1 = -52 - 9d$.

Случай 1: Если $d = -8$

$a_1 = -52 - 9(-8) = -52 + 72 = 20$

Случай 2: Если $d = -11.5$

$a_1 = -52 - 9(-11.5) = -52 + 103.5 = 51.5$

Оба набора значений удовлетворяют исходным условиям.

Ответ: $a_1 = 20, d = -8$ или $a_1 = 51.5, d = -11.5$.