Страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

793. Какое наименьшее количество последовательных нечётных натуральных чисел, начиная с числа 7, надо сложить, чтобы получить сумму, большую чем 315?

Задача состоит в том, чтобы найти наименьшее натуральное число $n$, для которого сумма $n$ последовательных нечётных чисел, начиная с 7, будет больше 315.

Данная последовательность чисел (7, 9, 11, ...) является арифметической прогрессией. Определим её параметры:

• Первый член прогрессии $a_1 = 7$.
• Разность прогрессии $d = 2$ (так как это последовательные нечётные числа).

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим известные значения $a_1 = 7$ и $d = 2$ в эту формулу: $S_n = \frac{2 \cdot 7 + 2(n-1)}{2} \cdot n$

Упростим выражение для суммы: $S_n = \frac{14 + 2n - 2}{2} \cdot n = \frac{12 + 2n}{2} \cdot n = (6 + n)n = n^2 + 6n$

Согласно условию задачи, сумма должна быть больше 315. Это приводит к следующему неравенству: $S_n > 315$
$n^2 + 6n > 315$

Для решения этого квадратного неравенства перенесём все слагаемые в одну сторону: $n^2 + 6n - 315 > 0$

Сначала решим соответствующее квадратное уравнение $n^2 + 6n - 315 = 0$, чтобы найти его корни. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-315) = 36 + 1260 = 1296$

Теперь найдём корни уравнения, зная, что $\sqrt{1296} = 36$:
$n_1 = \frac{-6 + 36}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$n_2 = \frac{-6 - 36}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Парабола $y = n^2 + 6n - 315$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $n^2 + 6n - 315 > 0$ выполняется, когда $n$ находится за пределами отрезка между корнями, то есть при $n < -21$ или $n > 15$.

Поскольку $n$ обозначает количество чисел, оно должно быть положительным целым числом ($n \in \mathbb{N}$). Следовательно, из двух полученных интервалов нам подходит только $n > 15$.

Наименьшее целое число, которое больше 15, это 16.

Для проверки можно вычислить суммы для $n=15$ и $n=16$:

• Если $n=15$, то $S_{15} = 15^2 + 6 \cdot 15 = 225 + 90 = 315$. Это не больше 315.
• Если $n=16$, то $S_{16} = 16^2 + 6 \cdot 16 = 256 + 96 = 352$. Это больше 315.

Таким образом, наименьшее требуемое количество чисел равно 16.

Ответ: 16

794. Может ли сумма каких-либо пяти последовательных членов арифметической прогрессии $3, 7, 11, \dots$ быть равной 135? В случае утвердительного ответа найдите эти члены.

Дана арифметическая прогрессия, первыми членами которой являются 3, 7, 11. Сначала найдем ее основные параметры. Первый член прогрессии $a_1 = 3$. Разность прогрессии $d$ можно найти как разность между вторым и первым членами: $d = 7 - 3 = 4$.

Формула для n-го члена данной арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)4$.

Нам нужно выяснить, может ли сумма пяти последовательных членов этой прогрессии быть равной 135. Пусть искомые пять членов — это $a_k, a_{k+1}, a_{k+2}, a_{k+3}, a_{k+4}$ для некоторого номера $k$. Сумма нечетного количества последовательных членов арифметической прогрессии равна произведению их количества на средний член. В нашем случае средний член — третий из пяти, то есть $a_{k+2}$. Следовательно, сумма $S_5$ равна: $S_5 = 5 \cdot a_{k+2}$.

По условию $S_5 = 135$. Подставим это значение в формулу:
$135 = 5 \cdot a_{k+2}$.
Отсюда найдем значение среднего члена: $a_{k+2} = \frac{135}{5} = 27$.

Теперь проверим, является ли 27 членом исходной прогрессии. Для этого нужно найти номер $n$, для которого $a_n = 27$.
$3 + (n-1)4 = 27$
$(n-1)4 = 27 - 3$
$(n-1)4 = 24$
$n-1 = \frac{24}{4}$
$n-1 = 6$
$n = 7$.

Поскольку мы получили натуральное число $n=7$, это означает, что 27 является седьмым членом прогрессии. Таким образом, ответ на вопрос — да, может. Средний из пяти искомых членов — это $a_7=27$.

Осталось найти остальные четыре члена. Это будут два предыдущих и два последующих члена: $a_5, a_6, a_7, a_8, a_9$. Зная, что $a_7 = 27$ и $d=4$, находим:
$a_6 = a_7 - d = 27 - 4 = 23$
$a_5 = a_6 - d = 23 - 4 = 19$
$a_8 = a_7 + d = 27 + 4 = 31$
$a_9 = a_8 + d = 31 + 4 = 35$
Искомые пять членов: 19, 23, 27, 31, 35.

Ответ: Да, может. Эти члены: 19, 23, 27, 31, 35.

795. Может ли сумма каких-либо четырёх последовательных членов арифметической прогрессии $2, 8, 14, \dots$ быть равной 176? В случае утвердительного ответа найдите эти члены.

Для ответа на этот вопрос сначала определим параметры заданной арифметической прогрессии.

Дана прогрессия: $2, 8, 14, ...$
Первый член прогрессии $a_1 = 2$.

Найдем разность прогрессии $d$, которая является постоянной разницей между последующим и предыдущим членами:
$d = a_2 - a_1 = 8 - 2 = 6$.
Проверим: $a_3 - a_2 = 14 - 8 = 6$.
Разность прогрессии $d = 6$.

Теперь предположим, что сумма четырех последовательных членов этой прогрессии может быть равна 176. Обозначим первый из этих четырех членов как $a_n$. Тогда эти четыре члена будут: $a_n$, $a_{n+1}$, $a_{n+2}$ и $a_{n+3}$.

Выразим эти члены через $a_n$ и разность $d$:
Второй член: $a_{n+1} = a_n + d = a_n + 6$
Третий член: $a_{n+2} = a_n + 2d = a_n + 2 \cdot 6 = a_n + 12$
Четвертый член: $a_{n+3} = a_n + 3d = a_n + 3 \cdot 6 = a_n + 18$

Их сумма $S$ равна:
$S = a_n + (a_n + 6) + (a_n + 12) + (a_n + 18)$
$S = 4a_n + 36$

По условию задачи, эта сумма должна быть равна 176. Составим и решим уравнение:
$4a_n + 36 = 176$
$4a_n = 176 - 36$
$4a_n = 140$
$a_n = \frac{140}{4}$
$a_n = 35$

Мы нашли, что первый из четырех последовательных членов должен быть равен 35. Теперь нужно проверить, является ли 35 членом исходной арифметической прогрессии. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Мы должны найти, существует ли такое натуральное число $n$ (номер члена), для которого $a_n = 35$.

Подставим известные значения $a_n=35$, $a_1=2$ и $d=6$:
$35 = 2 + (n-1) \cdot 6$
$35 - 2 = (n-1) \cdot 6$
$33 = 6(n-1)$
$n-1 = \frac{33}{6}$
$n-1 = 5.5$
$n = 6.5$

Номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом ($1, 2, 3, ...$). Поскольку мы получили $n = 6.5$, которое не является натуральным числом, число 35 не является членом данной арифметической прогрессии. Следовательно, не существует четырех последовательных членов этой прогрессии, сумма которых равна 176.

Ответ: нет, не может.

796. При свободном падении тело за первую секунду проходит 4,9 м, а за каждую следующую — на 9,8 м больше, чем за предыдущую, если не учитывать сопротивление воздуха. Найдите время падения тела с высоты 490 м (не учитывая сопротивление воздуха).

Данная задача описывает движение тела, расстояние которое оно проходит за последовательные равные промежутки времени (секунды) образует арифметическую прогрессию. Это характерно для равноускоренного движения, каким и является свободное падение.

Обозначим расстояние, которое тело проходит за $n$-ю секунду, как $a_n$.

По условию, за первую секунду тело проходит 4,9 м. Это первый член нашей арифметической прогрессии:

$a_1 = 4,9$

За каждую следующую секунду тело проходит на 9,8 м больше, чем за предыдущую. Это значение является разностью арифметической прогрессии:

$d = 9,8$

Общая высота падения, 490 м, — это сумма всех расстояний, пройденных за каждую секунду. Если общее время падения равно $t$ секундам, то нам нужно найти такое $t$, что сумма первых $t$ членов прогрессии $S_t$ будет равна 490.

Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим наши значения ($S_t = 490$, $a_1 = 4,9$, $d = 9,8$) в формулу, заменив $n$ на искомое время $t$:

$490 = \frac{2 \cdot 4,9 + 9,8(t-1)}{2} \cdot t$

Теперь решим это уравнение относительно $t$:

$490 = \frac{9,8 + 9,8t - 9,8}{2} \cdot t$

$490 = \frac{9,8t}{2} \cdot t$

$490 = 4,9t^2$

Выразим $t^2$:

$t^2 = \frac{490}{4,9}$

$t^2 = 100$

Извлечем квадратный корень. Так как время не может быть отрицательным, нас интересует только положительное значение:

$t = \sqrt{100} = 10$

Следовательно, время падения тела с высоты 490 м составляет 10 секунд.

Ответ: 10 с.

797. Сумма нечётных номеров страниц книги является нечётным числом, большим 400 и меньшим 500. Сколько страниц в книге?

Пусть $n$ — это количество нечётных страниц в книге. Нечётные номера страниц образуют арифметическую прогрессию: $1, 3, 5, \dots$. Сумма первых $n$ членов этой прогрессии (то есть сумма первых $n$ нечётных чисел) вычисляется по формуле $S_n = n^2$.

По условию задачи, эта сумма $S$ является нечётным числом, которое больше 400 и меньше 500. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$400 < S < 500$

Подставим в это неравенство формулу для суммы $S = n^2$:

$400 < n^2 < 500$

Чтобы найти возможные значения $n$, извлечём квадратный корень из всех частей неравенства:

$\sqrt{400} < n < \sqrt{500}$

Вычислим значения корней: $\sqrt{400} = 20$, а $\sqrt{500} = \sqrt{100 \cdot 5} = 10\sqrt{5} \approx 10 \cdot 2.236 = 22.36$.

Таким образом, $20 < n < 22.36$.

Поскольку $n$ (количество страниц) может быть только целым числом, то возможными значениями для $n$ являются 21 и 22.

В условии также сказано, что сумма $S = n^2$ — нечётное число. Квадрат целого числа $n^2$ является нечётным тогда и только тогда, когда само число $n$ нечётно.

Среди двух возможных значений ($n=21$ и $n=22$) нечётным является только $n=21$.

Значит, в книге 21 нечётная страница. Сумма их номеров равна $S = 21^2 = 441$. Это значение удовлетворяет всем условиям: $400 < 441 < 500$ и 441 — нечётное число.

Теперь найдём общее количество страниц в книге. Если в книге 21 нечётная страница, то это страницы с номерами $1, 3, 5, \dots$. Последняя нечётная страница будет иметь номер $2 \cdot 21 - 1 = 41$.

Это означает, что самая последняя страница в книге (с самым большим номером) должна быть не меньше 41. Если бы в книге было 43 страницы, то страница с номером 43 (нечётная) тоже вошла бы в сумму, что противоречит нашему выводу о том, что нечётных страниц ровно 21.

Следовательно, общее количество страниц в книге может быть 41 или 42.

• Если в книге 41 страница, то последняя страница имеет номер 41 (нечётный). Нечётные страницы — это $1, 3, \dots, 41$. Их количество — 21. Это удовлетворяет условию.
• Если в книге 42 страницы, то последняя страница имеет номер 42 (чётный). Нечётные страницы — это по-прежнему $1, 3, \dots, 41$. Их количество также 21. Это тоже удовлетворяет условию.

Поскольку условие задачи не даёт дополнительной информации для выбора между этими двумя вариантами, оба являются правильными.

Ответ: в книге может быть 41 или 42 страницы.

798. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с восьмого по двадцать шестой включительно, если первый член прогрессии равен 24, а разность прогрессии равна -8.

Для решения задачи необходимо найти сумму членов арифметической прогрессии с восьмого по двадцать шестой включительно. Обозначим эту сумму как $S_{8-26}$.

Нам даны следующие параметры арифметической прогрессии:

Первый член прогрессии: $a_1 = 24$.

Разность прогрессии: $d = -8$.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Нахождение суммы как отдельной прогрессии

1. Сначала найдем восьмой ($a_8$) и двадцать шестой ($a_{26}$) члены прогрессии, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Для восьмого члена ($n=8$):

$a_8 = 24 + (8-1) \cdot (-8) = 24 + 7 \cdot (-8) = 24 - 56 = -32$

Для двадцать шестого члена ($n=26$):

$a_{26} = 24 + (26-1) \cdot (-8) = 24 + 25 \cdot (-8) = 24 - 200 = -176$

2. Теперь мы можем рассматривать сумму с 8-го по 26-й член как сумму новой арифметической прогрессии, у которой первый член равен $a_8$, а последний — $a_{26}$. Найдем количество членов в этой новой последовательности:

$k = 26 - 8 + 1 = 19$

3. Используем формулу суммы арифметической прогрессии $S_k = \frac{k}{2}(a_{первый} + a_{последний})$:

$S_{8-26} = \frac{19}{2}(a_8 + a_{26}) = \frac{19}{2}(-32 + (-176)) = \frac{19}{2}(-208) = 19 \cdot (-104) = -1976$

Способ 2: Использование разности сумм

1. Искомую сумму можно найти как разность между суммой первых 26 членов ($S_{26}$) и суммой первых 7 членов ($S_7$).

$S_{8-26} = S_{26} - S_7$

2. Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$.

Найдем сумму первых 26 членов:

$S_{26} = \frac{26}{2}(2 \cdot 24 + (26-1) \cdot (-8)) = 13(48 + 25 \cdot (-8)) = 13(48 - 200) = 13 \cdot (-152) = -1976$

Найдем сумму первых 7 членов:

$S_7 = \frac{7}{2}(2 \cdot 24 + (7-1) \cdot (-8)) = \frac{7}{2}(48 + 6 \cdot (-8)) = \frac{7}{2}(48 - 48) = \frac{7}{2} \cdot 0 = 0$

3. Вычислим искомую сумму:

$S_{8-26} = S_{26} - S_7 = -1976 - 0 = -1976$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $-1976$.

799. Найдите сумму членов арифметической прогрессии $(x_n)$ с десятого по двадцать пятый включительно, если $x_1 = -3$ и $x_{11} = 12$.

Пусть $(x_n)$ — заданная арифметическая прогрессия с первым членом $x_1$ и разностью $d$. По условию задачи $x_1 = -3$ и $x_{11} = 12$. Необходимо найти сумму членов с десятого по двадцать пятый включительно, которую обозначим как $S$.

1. Нахождение разности прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $x_n = x_1 + d(n-1)$. Используя данные для одиннадцатого члена, мы можем найти разность $d$:
$x_{11} = x_1 + d(11-1)$
$12 = -3 + 10d$
$10d = 12 + 3$
$10d = 15$
$d = \frac{15}{10} = 1.5$

2. Нахождение десятого и двадцать пятого членов прогрессии

Чтобы найти сумму членов с десятого по двадцать пятый, нам нужно знать значения этих членов.
Найдём десятый член $x_{10}$:
$x_{10} = x_1 + d(10-1) = -3 + 1.5 \cdot 9 = -3 + 13.5 = 10.5$
Найдём двадцать пятый член $x_{25}$:
$x_{25} = x_1 + d(25-1) = -3 + 1.5 \cdot 24 = -3 + 36 = 33$

3. Вычисление искомой суммы

Сумма членов арифметической прогрессии с $m$-го по $n$-й включительно вычисляется по формуле $S = \frac{x_m + x_n}{2} \cdot (n - m + 1)$.
В нашем случае $m=10$, $n=25$. Количество членов в сумме равно $25 - 10 + 1 = 16$.
Подставим найденные значения $x_{10}$ и $x_{25}$ в формулу:
$S = \frac{x_{10} + x_{25}}{2} \cdot 16$
$S = \frac{10.5 + 33}{2} \cdot 16$
$S = \frac{43.5}{2} \cdot 16$
$S = 43.5 \cdot 8$
$S = 348$

Ответ: 348

800. Сумма первых шести членов арифметической прогрессии равна 39, а сумма первых четырнадцати членов равна $-77$. Найдите первый член и разность прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность.

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

По условию задачи, сумма первых шести членов $S_6$ равна 39. Подставим $n=6$ в формулу:

$S_6 = \frac{2a_1 + d(6-1)}{2} \cdot 6 = 39$

$(2a_1 + 5d) \cdot 3 = 39$

Разделив обе части на 3, получим первое уравнение:

$2a_1 + 5d = 13$

Также по условию, сумма первых четырнадцати членов $S_{14}$ равна -77. Подставим $n=14$ в формулу:

$S_{14} = \frac{2a_1 + d(14-1)}{2} \cdot 14 = -77$

$(2a_1 + 13d) \cdot 7 = -77$

Разделив обе части на 7, получим второе уравнение:

$2a_1 + 13d = -11$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a_1$ и $d$:

$\begin{cases} 2a_1 + 5d = 13 \\ 2a_1 + 13d = -11 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:

$(2a_1 + 13d) - (2a_1 + 5d) = -11 - 13$

$8d = -24$

$d = \frac{-24}{8} = -3$

Теперь, зная разность $d$, подставим её значение в первое уравнение, чтобы найти первый член $a_1$:

$2a_1 + 5(-3) = 13$

$2a_1 - 15 = 13$

$2a_1 = 13 + 15$

$2a_1 = 28$

$a_1 = \frac{28}{2} = 14$

Ответ: первый член прогрессии равен 14, разность прогрессии равна -3.

801. Первый член арифметической прогрессии равен 100, а сумма шести первых членов в 5 раз больше суммы следующих шести членов. Чему равна разность прогрессии?

Пусть $a_n$ — заданная арифметическая прогрессия, $a_1$ — её первый член, а $d$ — разность прогрессии.

По условию задачи, первый член прогрессии равен 100, то есть $a_1 = 100$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Найдем сумму первых шести членов прогрессии ($S_6$): $S_6 = \frac{2a_1 + (6-1)d}{2} \cdot 6 = (2a_1 + 5d) \cdot 3 = 6a_1 + 15d$.

Следующие шесть членов — это члены с седьмого по двенадцатый включительно. Их сумму можно найти как разность между суммой первых двенадцати членов ($S_{12}$) и суммой первых шести членов ($S_6$).

Найдем сумму первых двенадцати членов ($S_{12}$): $S_{12} = \frac{2a_1 + (12-1)d}{2} \cdot 12 = (2a_1 + 11d) \cdot 6 = 12a_1 + 66d$.

Теперь найдем сумму следующих шести членов (с 7-го по 12-й): $S_{7-12} = S_{12} - S_6 = (12a_1 + 66d) - (6a_1 + 15d) = 6a_1 + 51d$.

По условию, сумма первых шести членов в 5 раз больше суммы следующих шести членов. Составим уравнение: $S_6 = 5 \cdot S_{7-12}$ $6a_1 + 15d = 5(6a_1 + 51d)$

Подставим известное значение $a_1 = 100$ и решим уравнение относительно $d$: $6(100) + 15d = 5(6(100) + 51d)$ $600 + 15d = 5(600 + 51d)$ $600 + 15d = 3000 + 255d$

Перенесем члены с $d$ в одну сторону, а свободные члены — в другую: $15d - 255d = 3000 - 600$ $-240d = 2400$ $d = \frac{2400}{-240}$ $d = -10$

Ответ: -10

802. Разность арифметической прогрессии равна 28, а сумма пяти первых членов в 4 раза меньше суммы следующих шести членов. Чему равен первый член прогрессии?

Пусть $a_1$ — искомый первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. По условию задачи, разность прогрессии равна 28, то есть $d = 28$.

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Сумма первых пяти членов прогрессии, $S_5$, равна: $S_5 = \frac{2a_1 + d(5-1)}{2} \cdot 5 = \frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = (a_1 + 2d) \cdot 5 = 5a_1 + 10d$.

Следующие шесть членов прогрессии — это члены с шестого ($a_6$) по одиннадцатый ($a_{11}$). Их сумма ($S_{6-11}$) может быть вычислена как разность суммы первых одиннадцати членов ($S_{11}$) и суммы первых пяти членов ($S_5$).

Сумма первых одиннадцати членов, $S_{11}$, равна: $S_{11} = \frac{2a_1 + d(11-1)}{2} \cdot 11 = \frac{2a_1 + 10d}{2} \cdot 11 = (a_1 + 5d) \cdot 11 = 11a_1 + 55d$.

Следовательно, сумма следующих шести членов равна: $S_{6-11} = S_{11} - S_5 = (11a_1 + 55d) - (5a_1 + 10d) = 6a_1 + 45d$.

Согласно условию, сумма пяти первых членов в 4 раза меньше суммы следующих шести членов. Запишем это в виде уравнения: $S_{6-11} = 4 \cdot S_5$.

Подставим в это уравнение полученные выражения для $S_5$ и $S_{6-11}$: $6a_1 + 45d = 4(5a_1 + 10d)$.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $a_1$: $6a_1 + 45d = 20a_1 + 40d$.

Перенесем слагаемые, содержащие $a_1$, в правую часть, а слагаемые, содержащие $d$, — в левую: $45d - 40d = 20a_1 - 6a_1$ $5d = 14a_1$.

Теперь подставим известное значение разности $d = 28$: $5 \cdot 28 = 14a_1$ $140 = 14a_1$.

Отсюда находим $a_1$: $a_1 = \frac{140}{14}$ $a_1 = 10$.

Ответ: 10.

803. Двенадцатый член арифметической прогрессии равен 30. Найдите сумму двадцати трёх первых членов прогрессии.

Пусть $\{a_n\}$ — данная арифметическая прогрессия, $a_1$ — её первый член, а $d$ — её разность.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию, двенадцатый член прогрессии равен 30. Для $n=12$ имеем: $a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$.

Так как $a_{12} = 30$, то получаем следующее равенство: $a_1 + 11d = 30$.

Нам необходимо найти сумму двадцати трёх первых членов прогрессии, $S_{23}$. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Подставим $n=23$ в эту формулу: $S_{23} = \frac{2a_1 + (23-1)d}{2} \cdot 23 = \frac{2a_1 + 22d}{2} \cdot 23$.

Вынесем общий множитель 2 в числителе дроби и упростим выражение: $S_{23} = \frac{2(a_1 + 11d)}{2} \cdot 23 = (a_1 + 11d) \cdot 23$.

Мы знаем, что выражение в скобках $a_1 + 11d$ равно двенадцатому члену прогрессии $a_{12}$, который по условию равен 30. Подставим это значение в формулу для суммы: $S_{23} = a_{12} \cdot 23 = 30 \cdot 23$.

Выполним вычисление: $S_{23} = 690$.

Ответ: 690.

804. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_5 + a_{10} + a_{12} + a_{15} = 50$.

Для решения задачи нам понадобятся формулы для n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид:$a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ – первый член прогрессии, а $d$ – её разность.

Воспользуемся этой формулой, чтобы выразить члены, данные в условии, через $a_1$ и $d$:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$
$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$
$a_{15} = a_1 + (15-1)d = a_1 + 14d$

Теперь подставим эти выражения в данное равенство $a_5 + a_{10} + a_{12} + a_{15} = 50$:
$(a_1 + 4d) + (a_1 + 9d) + (a_1 + 11d) + (a_1 + 14d) = 50$

Сгруппируем и сложим слагаемые с $a_1$ и с $d$:
$(a_1 + a_1 + a_1 + a_1) + (4d + 9d + 11d + 14d) = 50$
$4a_1 + 38d = 50$

Вынесем общий множитель 2 за скобки в левой части уравнения:
$2(2a_1 + 19d) = 50$

Разделим обе части уравнения на 2:
$2a_1 + 19d = 25$

Теперь запишем формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Нам нужно найти сумму первых двадцати членов, то есть $S_{20}$. Подставим $n=20$ в формулу суммы:
$S_{20} = \frac{2a_1 + (20-1)d}{2} \cdot 20$
$S_{20} = \frac{2a_1 + 19d}{2} \cdot 20$
$S_{20} = (2a_1 + 19d) \cdot 10$

Мы уже нашли, что выражение в скобках равно 25. Подставим это значение в формулу для $S_{20}$:
$S_{20} = 25 \cdot 10 = 250$

Ответ: 250

805. Решите уравнение:

1) $7 + 13 + 19 + \dots + (6n + 1) = 480$, где $n$ – натуральное число;

2) $5 + 8 + 11 + \dots + x = 124$, где $x$ – натуральное число.

1) Данное уравнение представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Найдем ее параметры.

Первый член прогрессии $a_1 = 7$.

Разность прогрессии $d = 13 - 7 = 6$.

Общий вид k-го члена арифметической прогрессии: $a_k = a_1 + (k-1)d$. В нашем случае $a_k = 7 + (k-1) \cdot 6 = 6k + 1$.

Последний член в сумме равен $(6n+1)$. Сравнивая с общей формулой $a_k = 6k+1$, видим, что номер этого члена равен $n$. Таким образом, в сумме ровно $n$ членов.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим известные значения: $a_1 = 7$, $a_n = 6n+1$ и $S_n = 480$.

$480 = \frac{7 + (6n + 1)}{2} \cdot n$

$480 = \frac{8 + 6n}{2} \cdot n$

$480 = (4 + 3n)n$

$3n^2 + 4n - 480 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-480) = 16 + 5760 = 5776 = 76^2$

Корни уравнения:

$n_1 = \frac{-4 + 76}{2 \cdot 3} = \frac{72}{6} = 12$

$n_2 = \frac{-4 - 76}{2 \cdot 3} = \frac{-80}{6} = -\frac{40}{3}$

По условию $n$ — натуральное число, поэтому подходит только $n_1 = 12$.

Ответ: $n=12$.

2) Эта сумма является суммой членов арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = 5$.

Разность прогрессии $d = 8 - 5 = 3$.

Последний член прогрессии $a_n = x$, а сумма $S_n = 124$. Пусть количество членов в сумме равно $n$.

Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим наши значения:

$x = 5 + (n-1) \cdot 3 \implies x = 3n + 2$.

Из этого соотношения выразим $n$: $n = \frac{x-2}{3}$.

Формула суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим в нее известные значения и полученное выражение для $n$:

$124 = \frac{5 + x}{2} \cdot \frac{x-2}{3}$

$124 \cdot 6 = (x+5)(x-2)$

$744 = x^2 + 3x - 10$

$x^2 + 3x - 754 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-754) = 9 + 3016 = 3025 = 55^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 + 55}{2} = \frac{52}{2} = 26$

$x_2 = \frac{-3 - 55}{2} = \frac{-58}{2} = -29$

По условию $x$ — натуральное число, поэтому подходит только $x_1 = 26$.

Ответ: $x=26$.

806. Решите уравнение:

1) $11 + 19 + 27 + \dots + (8n + 3) = 470$, где $n$ — натуральное число;

2) $1 + 5 + 9 + \dots + x = 630$, где $x$ — натуральное число.

1) $11 + 19 + 27 + ... + (8n + 3) = 470$, где $n$ — натуральное число.

Левая часть уравнения представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 11$.
Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 19 - 11 = 8$.
Общий член арифметической прогрессии имеет вид $a_k = a_1 + (k-1)d$.
В нашем случае $a_k = 11 + (k-1)8 = 11 + 8k - 8 = 8k + 3$.
Последний член прогрессии равен $(8n+3)$, что соответствует $k=n$. Следовательно, в сумме $n$ членов.
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим известные значения: $a_1 = 11$, $a_n = 8n + 3$, $S_n = 470$.
$\frac{11 + (8n + 3)}{2} \cdot n = 470$
$\frac{14 + 8n}{2} \cdot n = 470$
$(7 + 4n) \cdot n = 470$
$7n + 4n^2 = 470$
$4n^2 + 7n - 470 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-470) = 49 + 16 \cdot 470 = 49 + 7520 = 7569$.
$\sqrt{D} = \sqrt{7569} = 87$.
Найдем корни уравнения: $n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 87}{2 \cdot 4} = \frac{80}{8} = 10$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 87}{2 \cdot 4} = \frac{-94}{8} = -11.75$
По условию задачи, $n$ — натуральное число, поэтому корень $n_2 = -11.75$ не подходит.
Единственным решением является $n=10$.

Ответ: $n = 10$.

2) $1 + 5 + 9 + ... + x = 630$, где $x$ — натуральное число.

Левая часть уравнения также является суммой членов арифметической прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 1$.
Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 5 - 1 = 4$.
Последний член прогрессии $a_n = x$.
Выразим число членов $n$ через $x$. Формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$x = 1 + (n-1)4$
$x = 1 + 4n - 4$
$x = 4n - 3$
Отсюда можно выразить $n$: $4n = x+3$, $n = \frac{x+3}{4}$.
Теперь используем формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим известные значения: $a_1 = 1$, $a_n = x$, $S_n = 630$.
$\frac{1 + x}{2} \cdot \frac{x+3}{4} = 630$
$\frac{(x+1)(x+3)}{8} = 630$
$(x+1)(x+3) = 630 \cdot 8$
$x^2 + 3x + x + 3 = 5040$
$x^2 + 4x + 3 = 5040$
$x^2 + 4x - 5037 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5037) = 16 + 20148 = 20164$.
$\sqrt{D} = \sqrt{20164} = 142$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 142}{2} = \frac{138}{2} = 69$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 142}{2} = \frac{-146}{2} = -73$
По условию задачи, $x$ — натуральное число, поэтому корень $x_2 = -73$ не подходит.
Проверим, является ли $x=69$ членом данной прогрессии. $x = 4n - 3 \implies 69 = 4n-3 \implies 4n=72 \implies n=18$. Так как $n=18$ является натуральным числом, то $x=69$ является 18-м членом прогрессии.

Ответ: $x = 69$.