Номер 805, страница 227 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

805. Решите уравнение:

1) $7 + 13 + 19 + \dots + (6n + 1) = 480$, где $n$ – натуральное число;

2) $5 + 8 + 11 + \dots + x = 124$, где $x$ – натуральное число.

1) Данное уравнение представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Найдем ее параметры.

Первый член прогрессии $a_1 = 7$.

Разность прогрессии $d = 13 - 7 = 6$.

Общий вид k-го члена арифметической прогрессии: $a_k = a_1 + (k-1)d$. В нашем случае $a_k = 7 + (k-1) \cdot 6 = 6k + 1$.

Последний член в сумме равен $(6n+1)$. Сравнивая с общей формулой $a_k = 6k+1$, видим, что номер этого члена равен $n$. Таким образом, в сумме ровно $n$ членов.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим известные значения: $a_1 = 7$, $a_n = 6n+1$ и $S_n = 480$.

$480 = \frac{7 + (6n + 1)}{2} \cdot n$

$480 = \frac{8 + 6n}{2} \cdot n$

$480 = (4 + 3n)n$

$3n^2 + 4n - 480 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-480) = 16 + 5760 = 5776 = 76^2$

Корни уравнения:

$n_1 = \frac{-4 + 76}{2 \cdot 3} = \frac{72}{6} = 12$

$n_2 = \frac{-4 - 76}{2 \cdot 3} = \frac{-80}{6} = -\frac{40}{3}$

По условию $n$ — натуральное число, поэтому подходит только $n_1 = 12$.

Ответ: $n=12$.

2) Эта сумма является суммой членов арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = 5$.

Разность прогрессии $d = 8 - 5 = 3$.

Последний член прогрессии $a_n = x$, а сумма $S_n = 124$. Пусть количество членов в сумме равно $n$.

Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим наши значения:

$x = 5 + (n-1) \cdot 3 \implies x = 3n + 2$.

Из этого соотношения выразим $n$: $n = \frac{x-2}{3}$.

Формула суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим в нее известные значения и полученное выражение для $n$:

$124 = \frac{5 + x}{2} \cdot \frac{x-2}{3}$

$124 \cdot 6 = (x+5)(x-2)$

$744 = x^2 + 3x - 10$

$x^2 + 3x - 754 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-754) = 9 + 3016 = 3025 = 55^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 + 55}{2} = \frac{52}{2} = 26$

$x_2 = \frac{-3 - 55}{2} = \frac{-58}{2} = -29$

По условию $x$ — натуральное число, поэтому подходит только $x_1 = 26$.

Ответ: $x=26$.