Номер 811, страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

811. Постройте график функции:

1) $y = x^2 - 4x + 4;$

2) $y = 2x^2 + 8x + 8.$

Используя построенный график, найдите область значений, промежутки возрастания и убывания функции.

1) $y = x^2 - 4x + 4$

Для построения графика данной квадратичной функции преобразуем ее уравнение. Заметим, что правая часть является формулой квадрата разности:
$y = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.
Графиком этой функции является парабола. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox).
Основные характеристики параболы:

• Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1).
• Вершина параболы находится в точке, где основание степени равно нулю, то есть $x-2=0$, откуда $x=2$. Соответствующее значение $y$ равно $(2-2)^2=0$. Таким образом, вершина параболы — точка $(2, 0)$.
• Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x=2$.
• Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy), подставив $x=0$: $y=(0-2)^2=4$. Точка пересечения — $(0, 4)$.

Построив параболу с вершиной в $(2, 0)$, проходящую через точку $(0, 4)$ и симметричную ей точку $(4, 4)$, мы получаем требуемый график.

Теперь, используя построенный график, найдем требуемые характеристики функции.
Область значений: Так как ветви параболы направлены вверх, а ее вершина $(2, 0)$ является самой низкой точкой графика, наименьшее значение функции равно 0. Функция принимает все значения, большие или равные 0.
Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины. Вершина находится в точке с абсциссой $x=2$.
Функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$.
Функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.

Ответ: Область значений: $[0; +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty; 2]$; промежуток возрастания: $[2; +\infty)$.

2) $y = 2x^2 + 8x + 8$

Для построения графика этой квадратичной функции преобразуем ее уравнение. Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$y = 2(x^2 + 4x + 4)$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x+2)^2$.
Таким образом, уравнение функции принимает вид: $y = 2(x+2)^2$.
Графиком этой функции является парабола. Это парабола $y=2x^2$ (которая является более "вытянутой" вдоль оси Oy по сравнению с $y=x^2$), смещенная на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс (Ox).
Основные характеристики параболы:

• Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 2).
• Вершина параболы находится в точке, где $x+2=0$, то есть $x=-2$. Соответствующее значение $y$ равно $2(-2+2)^2=0$. Вершина — точка $(-2, 0)$.
• Ось симметрии параболы — прямая $x=-2$.
• Найдем точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$: $y=2(0+2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$. Точка пересечения — $(0, 8)$.

Построив параболу с вершиной в $(-2, 0)$, проходящую через точку $(0, 8)$ и симметричную ей точку $(-4, 8)$, мы получаем требуемый график.

Используя построенный график, найдем характеристики функции.
Область значений: Ветви параболы направлены вверх, вершина $(-2, 0)$ является точкой минимума. Следовательно, функция принимает все значения, большие или равные 0.
Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает слева от вершины ($x=-2$) и возрастает справа от нее.
Функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$.
Функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$.

Ответ: Область значений: $[0; +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty; -2]$; промежуток возрастания: $[-2; +\infty)$.