Страница 228 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

807. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, у которой среднее арифметическое $n$ первых членов при любом $n$ равно их количеству.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Среднее арифметическое первых $n$ членов равно их сумме, делённой на их количество:$\frac{S_n}{n} = \frac{\frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n}{n} = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}$

По условию задачи, среднее арифметическое первых $n$ членов при любом $n$ равно их количеству, то есть $n$. Запишем это в виде уравнения:$\frac{2a_1 + (n-1)d}{2} = n$

Это равенство должно выполняться для любого натурального числа $n$. Преобразуем уравнение:$2a_1 + (n-1)d = 2n$$2a_1 + nd - d = 2n$$nd - 2n + 2a_1 - d = 0$$(d-2)n + (2a_1 - d) = 0$

Мы получили линейное уравнение относительно переменной $n$. Поскольку это равенство должно быть верным для любого значения $n \ge 1$, это возможно только в том случае, если коэффициенты при $n$ и свободный член равны нулю. Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

1) $d - 2 = 0$
2) $2a_1 - d = 0$

Из первого уравнения находим разность прогрессии:$d = 2$

Подставим найденное значение $d$ во второе уравнение, чтобы найти первый член прогрессии:$2a_1 - 2 = 0$$2a_1 = 2$$a_1 = 1$

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен 1, а её разность равна 2.

Ответ: первый член равен 1, разность равна 2.

Докажите, что в арифметической прогрессии с чётным количеством членов, состоящей из целых чисел, сумма второй половины больше суммы первой половины на число, кратное квадрату половины количества членов.

Пусть дана арифметическая прогрессия $\{a_k\}$, состоящая из целых чисел, с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Поскольку все члены прогрессии — целые числа, то и первый член $a_1$, и разность $d = a_2 - a_1$ должны быть целыми числами, то есть $a_1 \in \mathbb{Z}$ и $d \in \mathbb{Z}$.

По условию, количество членов прогрессии чётно. Обозначим его как $2n$, где $n$ — натуральное число. Таким образом, $n$ — это половина количества членов прогрессии.

Первая половина прогрессии состоит из $n$ членов: $a_1, a_2, \dots, a_n$. Сумма этих членов равна $S_1 = \sum_{k=1}^{n} a_k$.

Вторая половина прогрессии состоит из следующих $n$ членов: $a_{n+1}, a_{n+2}, \dots, a_{2n}$. Сумма этих членов равна $S_2 = \sum_{k=n+1}^{2n} a_k$.

Нам необходимо доказать, что сумма второй половины $S_2$ больше суммы первой половины $S_1$ на число, кратное $n^2$. Для этого найдем разность $S_2 - S_1$.

$S_2 - S_1 = (a_{n+1} + a_{n+2} + \dots + a_{2n}) - (a_1 + a_2 + \dots + a_n)$

Сгруппируем слагаемые попарно:$S_2 - S_1 = (a_{n+1} - a_1) + (a_{n+2} - a_2) + \dots + (a_{2n} - a_n)$.

Эту сумму можно записать с использованием знака суммирования:$S_2 - S_1 = \sum_{k=1}^{n} (a_{n+k} - a_k)$

Теперь найдем разность для каждой пары членов $a_{n+k}$ и $a_k$. Используем формулу для $m$-го члена арифметической прогрессии: $a_m = a_1 + (m-1)d$.$a_{n+k} - a_k = (a_1 + (n+k-1)d) - (a_1 + (k-1)d) = (a_1 - a_1) + ((n+k-1) - (k-1))d = nd$.

Как видим, разность для каждой пары членов постоянна и равна $nd$. Подставим это значение обратно в сумму:$S_2 - S_1 = \sum_{k=1}^{n} (nd)$.

Сумма состоит из $n$ одинаковых слагаемых, равных $nd$. Таким образом,$S_2 - S_1 = n \cdot (nd) = n^2d$.

Проанализируем полученный результат.

Во-первых, нам нужно доказать, что разность $S_2 - S_1$ кратна квадрату половины количества членов. Половина количества членов — это $n$, а ее квадрат — $n^2$. Мы получили, что разность равна $n^2d$. Поскольку $d$ является целым числом, произведение $n^2d$ по определению кратно $n^2$.

Во-вторых, докажем, что сумма второй половины больше суммы первой, то есть $S_2 > S_1$. Это эквивалентно неравенству $S_2 - S_1 > 0$, или $n^2d > 0$. Так как $n$ — натуральное число, $n^2$ всегда положительно. Следовательно, знак разности определяется знаком $d$. Формулировка "сумма второй половины больше суммы первой" подразумевает, что прогрессия является возрастающей, то есть $d > 0$. Так как $d$ — целое число, это означает $d \ge 1$. При этом условии $n^2d > 0$, и $S_2 > S_1$. Если бы прогрессия была убывающей ($d<0$), то сумма второй половины была бы меньше, а для постоянной прогрессии ($d=0$) суммы были бы равны.

Таким образом, утверждение задачи полностью доказано при естественном предположении, что прогрессия является возрастающей.

Ответ: Разность между суммой второй половины и суммой первой половины членов прогрессии равна $n^2d$, где $n$ — половина количества членов, а $d$ — целочисленная разность прогрессии. Так как $d$ — целое число, эта разность кратна $n^2$. Для возрастающей прогрессии ($d > 0$), сумма второй половины больше суммы первой, что и требовалось доказать.

809. Докажите, что если сумма $n$ первых членов последовательности вычисляется по формуле $S_n = n^2 - 3n$, то эта последовательность является арифметической прогрессией. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

Доказательство, что последовательность является арифметической прогрессией

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом $d$. Это число $d$ называется разностью прогрессии. Чтобы доказать, что последовательность является арифметической, нужно показать, что разность $a_n - a_{n-1}$ является постоянной величиной для всех $n \ge 2$.

По условию, сумма $n$ первых членов последовательности вычисляется по формуле:$S_n = n^2 - 3n$

Любой член последовательности $a_n$ (при $n \ge 2$) можно найти как разность между суммой $n$ первых членов $S_n$ и суммой $n-1$ первых членов $S_{n-1}$:$a_n = S_n - S_{n-1}$

Найдем выражение для $S_{n-1}$, подставив в заданную формулу $(n-1)$ вместо $n$:$S_{n-1} = (n-1)^2 - 3(n-1) = (n^2 - 2n + 1) - (3n - 3) = n^2 - 2n + 1 - 3n + 3 = n^2 - 5n + 4$

Теперь найдем формулу для $n$-го члена последовательности:$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 3n) - (n^2 - 5n + 4) = n^2 - 3n - n^2 + 5n - 4 = 2n - 4$

Итак, мы получили формулу для $n$-го члена последовательности: $a_n = 2n - 4$.

Теперь найдем разность между $n$-м и $(n-1)$-м членами, чтобы проверить, является ли она постоянной:$d = a_n - a_{n-1} = (2n - 4) - (2(n-1) - 4) = (2n - 4) - (2n - 2 - 4) = (2n - 4) - (2n - 6) = 2n - 4 - 2n + 6 = 2$

Разность $d=2$ является постоянной величиной, не зависящей от $n$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией, что и требовалось доказать.

Нахождение первого члена и разности этой прогрессии

Разность прогрессии $d$ была найдена в ходе доказательства и равна 2.

Первый член прогрессии $a_1$ можно найти, вычислив $S_1$, так как сумма первого члена равна самому первому члену:$a_1 = S_1 = 1^2 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2$

Также можно было использовать найденную общую формулу $a_n = 2n - 4$ для $n=1$:$a_1 = 2 \cdot 1 - 4 = -2$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: доказано, что последовательность является арифметической. Первый член прогрессии $a_1 = -2$, разность прогрессии $d = 2$.

810. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые не делятся нацело ни на 3, ни на 5.

Для решения этой задачи мы найдем сумму всех двузначных чисел, а затем, используя принцип включений-исключений, вычтем из нее сумму всех двузначных чисел, которые делятся на 3 или на 5.

1. Найдем сумму всех двузначных чисел.
Двузначные числа представляют собой арифметическую прогрессию, начинающуюся с $a_1 = 10$ и заканчивающуюся $a_n = 99$.Всего двузначных чисел: $n = 99 - 10 + 1 = 90$.Сумма всех двузначных чисел $S_{всех}$ вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии:$S_{всех} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$.

2. Найдем сумму двузначных чисел, которые делятся на 3.
Эти числа также образуют арифметическую прогрессию. Первый член, кратный 3, это $b_1 = 12$, а последний — $b_m = 99$. Разность прогрессии $d=3$.Количество таких чисел: $m = \frac{99 - 12}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30$.Сумма этих чисел $S_3$:$S_3 = \frac{12 + 99}{2} \cdot 30 = 111 \cdot 15 = 1665$.

3. Найдем сумму двузначных чисел, которые делятся на 5.
Это тоже арифметическая прогрессия. Первый член, кратный 5, это $c_1 = 10$, а последний — $c_k = 95$. Разность прогрессии $d=5$.Количество таких чисел: $k = \frac{95 - 10}{5} + 1 = \frac{85}{5} + 1 = 17 + 1 = 18$.Сумма этих чисел $S_5$:$S_5 = \frac{10 + 95}{2} \cdot 18 = 105 \cdot 9 = 945$.

4. Найдем сумму двузначных чисел, которые делятся и на 3, и на 5.
Числа, которые делятся одновременно на 3 и на 5, делятся на их наименьшее общее кратное, то есть на 15. Сумму этих чисел ($S_{15}$) мы учли дважды (в $S_3$ и в $S_5$), поэтому ее нужно будет вычесть.Эти числа: 15, 30, 45, 60, 75, 90. Всего их 6.Их сумма $S_{15}$:$S_{15} = \frac{15 + 90}{2} \cdot 6 = 105 \cdot 3 = 315$.

5. Вычислим искомую сумму.
Сумма чисел, которые делятся на 3 или на 5, равна $S_{3 \text{ или } 5} = S_3 + S_5 - S_{15}$.$S_{3 \text{ или } 5} = 1665 + 945 - 315 = 2610 - 315 = 2295$.Теперь найдем сумму чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5. Для этого из общей суммы всех двузначных чисел вычтем сумму чисел, которые делятся на 3 или на 5:$S = S_{всех} - S_{3 \text{ или } 5} = 4905 - 2295 = 2610$.

Ответ: 2610.

811. Постройте график функции:

1) $y = x^2 - 4x + 4;$

2) $y = 2x^2 + 8x + 8.$

Используя построенный график, найдите область значений, промежутки возрастания и убывания функции.

1) $y = x^2 - 4x + 4$

Для построения графика данной квадратичной функции преобразуем ее уравнение. Заметим, что правая часть является формулой квадрата разности:
$y = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.
Графиком этой функции является парабола. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox).
Основные характеристики параболы:

• Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1).
• Вершина параболы находится в точке, где основание степени равно нулю, то есть $x-2=0$, откуда $x=2$. Соответствующее значение $y$ равно $(2-2)^2=0$. Таким образом, вершина параболы — точка $(2, 0)$.
• Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x=2$.
• Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy), подставив $x=0$: $y=(0-2)^2=4$. Точка пересечения — $(0, 4)$.

Построив параболу с вершиной в $(2, 0)$, проходящую через точку $(0, 4)$ и симметричную ей точку $(4, 4)$, мы получаем требуемый график.

Теперь, используя построенный график, найдем требуемые характеристики функции.
Область значений: Так как ветви параболы направлены вверх, а ее вершина $(2, 0)$ является самой низкой точкой графика, наименьшее значение функции равно 0. Функция принимает все значения, большие или равные 0.
Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины. Вершина находится в точке с абсциссой $x=2$.
Функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$.
Функция возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.

Ответ: Область значений: $[0; +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty; 2]$; промежуток возрастания: $[2; +\infty)$.

2) $y = 2x^2 + 8x + 8$

Для построения графика этой квадратичной функции преобразуем ее уравнение. Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$y = 2(x^2 + 4x + 4)$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x+2)^2$.
Таким образом, уравнение функции принимает вид: $y = 2(x+2)^2$.
Графиком этой функции является парабола. Это парабола $y=2x^2$ (которая является более "вытянутой" вдоль оси Oy по сравнению с $y=x^2$), смещенная на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс (Ox).
Основные характеристики параболы:

• Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 2).
• Вершина параболы находится в точке, где $x+2=0$, то есть $x=-2$. Соответствующее значение $y$ равно $2(-2+2)^2=0$. Вершина — точка $(-2, 0)$.
• Ось симметрии параболы — прямая $x=-2$.
• Найдем точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$: $y=2(0+2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$. Точка пересечения — $(0, 8)$.

Построив параболу с вершиной в $(-2, 0)$, проходящую через точку $(0, 8)$ и симметричную ей точку $(-4, 8)$, мы получаем требуемый график.

Используя построенный график, найдем характеристики функции.
Область значений: Ветви параболы направлены вверх, вершина $(-2, 0)$ является точкой минимума. Следовательно, функция принимает все значения, большие или равные 0.
Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает слева от вершины ($x=-2$) и возрастает справа от нее.
Функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$.
Функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$.

Ответ: Область значений: $[0; +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty; -2]$; промежуток возрастания: $[-2; +\infty)$.

812. Вычислите:

1) $\frac{3^{49}}{9^{25}};$

2) $\frac{4^8}{8^4};$

3) $\frac{5^4 \cdot 11^7}{5^6};$

4) $\frac{12^5}{18^3}.$

Чтобы вычислить значение дроби $\frac{3^{49}}{9^{25}}$, необходимо привести степени к одному основанию. Основание знаменателя $9$ можно представить как степень числа $3$, поскольку $9 = 3^2$.
Заменим $9$ на $3^2$ в знаменателе:
$9^{25} = (3^2)^{25}$
По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(3^2)^{25} = 3^{2 \cdot 25} = 3^{50}$
Теперь исходное выражение можно переписать так:
$\frac{3^{49}}{3^{50}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно свойству $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{3^{49}}{3^{50}} = 3^{49-50} = 3^{-1}$
Степень с отрицательным показателем равна обратному числу, возведенному в степень с положительным показателем:
$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$

Для вычисления выражения $\frac{4^8}{8^4}$ приведем основания степеней $4$ и $8$ к общему основанию $2$.
Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.
Подставим эти значения в исходную дробь:
Числитель: $4^8 = (2^2)^8 = 2^{2 \cdot 8} = 2^{16}$
Знаменатель: $8^4 = (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{2^{16}}{2^{12}}$
Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием:
$2^{16-12} = 2^4$
Вычислим полученное значение:
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
Ответ: 16

Рассмотрим выражение $\frac{5^4 \cdot 11^7}{55^6}$.
Представим основание знаменателя $55$ в виде произведения его простых множителей: $55 = 5 \cdot 11$.
Тогда знаменатель $55^6$ можно записать как $(5 \cdot 11)^6$.
Используя свойство возведения произведения в степень $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, получаем:
$55^6 = 5^6 \cdot 11^6$
Подставим это разложение в исходную дробь:
$\frac{5^4 \cdot 11^7}{5^6 \cdot 11^6}$
Теперь сгруппируем дроби с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней:
$\frac{5^4}{5^6} \cdot \frac{11^7}{11^6} = 5^{4-6} \cdot 11^{7-6} = 5^{-2} \cdot 11^1$
Вычислим значение каждого множителя:
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$
$11^1 = 11$
Перемножим полученные результаты:
$\frac{1}{25} \cdot 11 = \frac{11}{25}$
Ответ: $\frac{11}{25}$

Для вычисления дроби $\frac{12^5}{18^3}$ разложим основания $12$ и $18$ на простые множители.
$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$
Теперь подставим эти разложения в степени:
Числитель: $12^5 = (2^2 \cdot 3)^5 = (2^2)^5 \cdot 3^5 = 2^{10} \cdot 3^5$
Знаменатель: $18^3 = (2 \cdot 3^2)^3 = 2^3 \cdot (3^2)^3 = 2^3 \cdot 3^6$
Дробь принимает следующий вид:
$\frac{2^{10} \cdot 3^5}{2^3 \cdot 3^6}$
Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая их показатели:
$\frac{2^{10}}{2^3} \cdot \frac{3^5}{3^6} = 2^{10-3} \cdot 3^{5-6} = 2^7 \cdot 3^{-1}$
Вычислим конечное значение:
$2^7 \cdot 3^{-1} = 128 \cdot \frac{1}{3} = \frac{128}{3}$
Это значение также можно записать в виде смешанного числа $42\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{128}{3}$

813. При каком значении $k$ графики функций $y = kx - 3$ и $y = x^2$ пересекаются в точке, абсцисса которой равна $-2$?

Для того чтобы графики функций $y = kx - 3$ и $y = x^2$ пересекались в некоторой точке, координаты этой точки $(x, y)$ должны удовлетворять обоим уравнениям.

В точке пересечения значения $y$ равны, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:
$kx - 3 = x^2$

По условию задачи, абсцисса (координата $x$) точки пересечения равна $-2$. Подставим это значение $x = -2$ в полученное равенство:
$k \cdot (-2) - 3 = (-2)^2$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $k$:
$-2k - 3 = 4$
Перенесем $-3$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$-2k = 4 + 3$
$-2k = 7$
Разделим обе части уравнения на $-2$:
$k = \frac{7}{-2}$
$k = -3.5$

Таким образом, при $k = -3.5$ графики функций пересекутся в точке с абсциссой $-2$.

Ответ: $k = -3.5$

814. Упростите выражение:

1) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{bc}}$;

2) $\frac{d-49}{d+12\sqrt{d}+36} \cdot \frac{4\sqrt{d}+24}{3\sqrt{d}+21}$

1)

Для сложения дробей $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{bc}}$ приведем их к общему знаменателю. Знаменатели можно представить как $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ и $\sqrt{bc} = \sqrt{b}\sqrt{c}$. Наименьший общий знаменатель будет $\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c} = \sqrt{abc}$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $\sqrt{c}$, а второй дроби — на $\sqrt{a}$:

$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})\sqrt{c}}{\sqrt{ab}\sqrt{c}} + \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{c})\sqrt{a}}{\sqrt{bc}\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{ac}-\sqrt{bc}}{\sqrt{abc}} + \frac{(\sqrt{a})^2-\sqrt{ac}}{\sqrt{abc}} = \frac{\sqrt{ac}-\sqrt{bc}}{\sqrt{abc}} + \frac{a-\sqrt{ac}}{\sqrt{abc}}$

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{\sqrt{ac}-\sqrt{bc} + a-\sqrt{ac}}{\sqrt{abc}}$

В числителе слагаемые $\sqrt{ac}$ и $-\sqrt{ac}$ взаимно уничтожаются:

$\frac{a-\sqrt{bc}}{\sqrt{abc}}$

Ответ: $\frac{a-\sqrt{bc}}{\sqrt{abc}}$

2)

Для упрощения выражения $\frac{d-49}{d+12\sqrt{d}+36} \cdot \frac{4\sqrt{d}+24}{3\sqrt{d}+21}$ разложим числители и знаменатели дробей на множители.

Рассмотрим первую дробь. Её числитель $d-49$ — это разность квадратов: $d-49 = (\sqrt{d})^2 - 7^2 = (\sqrt{d}-7)(\sqrt{d}+7)$.

Знаменатель первой дроби $d+12\sqrt{d}+36$ — это полный квадрат суммы: $d+12\sqrt{d}+36 = (\sqrt{d})^2 + 2\cdot\sqrt{d}\cdot 6 + 6^2 = (\sqrt{d}+6)^2$.

Таким образом, первая дробь равна: $\frac{(\sqrt{d}-7)(\sqrt{d}+7)}{(\sqrt{d}+6)^2}$.

Рассмотрим вторую дробь. В её числителе $4\sqrt{d}+24$ вынесем общий множитель 4 за скобки: $4(\sqrt{d}+6)$.

В знаменателе второй дроби $3\sqrt{d}+21$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(\sqrt{d}+7)$.

Таким образом, вторая дробь равна: $\frac{4(\sqrt{d}+6)}{3(\sqrt{d}+7)}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{(\sqrt{d}-7)(\sqrt{d}+7)}{(\sqrt{d}+6)^2} \cdot \frac{4(\sqrt{d}+6)}{3(\sqrt{d}+7)} = \frac{(\sqrt{d}-7)(\sqrt{d}+7)}{(\sqrt{d}+6)(\sqrt{d}+6)} \cdot \frac{4(\sqrt{d}+6)}{3(\sqrt{d}+7)}$

Сократим общие множители $(\sqrt{d}+7)$ и $(\sqrt{d}+6)$ в числителях и знаменателях:

$\frac{(\sqrt{d}-7)}{(\sqrt{d}+6)} \cdot \frac{4}{3}$

Результат умножения:

$\frac{4(\sqrt{d}-7)}{3(\sqrt{d}+6)}$

Ответ: $\frac{4(\sqrt{d}-7)}{3(\sqrt{d}+6)}$

815. Велосипедист за каждую минуту проезжает на 600 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на дорогу в 120 км он тратит на 3 ч больше, чем мотоциклист. Найдите скорость велосипедиста.

Для начала переведем все величины в единую систему измерений. Расстояние дано в километрах (км), а разница во времени — в часах (ч), поэтому будем измерять скорость в км/ч.

В условии сказано, что велосипедист за каждую минуту проезжает на 600 м меньше, чем мотоциклист. Выразим эту разницу в скоростях в км/ч.

600 м = 0,6 км.

1 минута = $\frac{1}{60}$ часа.

Следовательно, разница в скоростях составляет $\frac{0,6 \text{ км}}{1/60 \text{ ч}} = 0,6 \times 60 = 36$ км/ч.

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста. Тогда скорость мотоциклиста будет $(x + 36)$ км/ч.

Время, которое тратит велосипедист на дорогу в 120 км, равно $t_в = \frac{120}{x}$ часов.

Время, которое тратит мотоциклист на ту же дорогу, равно $t_м = \frac{120}{x + 36}$ часов.

По условию, велосипедист тратит на 3 часа больше, чем мотоциклист. На основе этого составим уравнение:

$t_в - t_м = 3$

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 36} = 3$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 3:

$\frac{40}{x} - \frac{40}{x + 36} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x + 36)$:

$\frac{40(x + 36) - 40x}{x(x + 36)} = 1$

$\frac{40x + 1440 - 40x}{x^2 + 36x} = 1$

$\frac{1440}{x^2 + 36x} = 1$

Поскольку $x$ — это скорость, то $x > 0$. Значит, знаменатель не равен нулю, и мы можем записать:

$x^2 + 36x = 1440$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 36x - 1440 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 36^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1440) = 1296 + 5760 = 7056$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{7056} = 84$

$x_1 = \frac{-36 + 84}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{-36 - 84}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -60$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 24 км/ч.

Ответ: 24 км/ч.

816. Найдите все пары (x, y), удовлетворяющие уравнению

$\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 1} = x^2 + y^2 + 2.$

Преобразуем исходное уравнение. Заметим, что правую часть можно представить в виде $(x^2 + 1) + (y^2 + 1)$. Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их следующим образом:
$(\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 1}) - ((x^2 + 1) + (y^2 + 1)) = 0$
$(x^2 + 1 - \sqrt{x^2 + 1}) + (y^2 + 1 - \sqrt{y^2 + 1}) = 0$

Рассмотрим функцию $f(t) = t^2 - t$. Тогда наше уравнение можно записать в виде:
$f(\sqrt{x^2 + 1}) + f(\sqrt{y^2 + 1}) = 0$

Определим область значений для аргументов функции $f$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, $\sqrt{x^2 + 1} \ge \sqrt{1} = 1$. Аналогично, $y^2 \ge 0$, поэтому $y^2 + 1 \ge 1$ и $\sqrt{y^2 + 1} \ge 1$. Таким образом, аргументы функции $f$ всегда больше или равны 1.

Исследуем функцию $f(t) = t^2 - t$ на промежутке $[1, +\infty)$. Мы можем переписать ее как $f(t) = t(t-1)$. При $t \ge 1$ оба множителя неотрицательны: $t > 0$ и $(t-1) \ge 0$. Следовательно, их произведение $f(t) = t(t-1) \ge 0$ для всех $t \ge 1$. Равенство $f(t) = 0$ достигается только в одной точке этого промежутка, при $t=1$.

Вернемся к уравнению $f(\sqrt{x^2 + 1}) + f(\sqrt{y^2 + 1}) = 0$. Поскольку мы установили, что $f(t) \ge 0$ для всех $t \ge 1$, то оба слагаемых в левой части уравнения неотрицательны. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны нулю. Таким образом, мы получаем систему уравнений:
$\begin{cases} f(\sqrt{x^2 + 1}) = 0 \\ f(\sqrt{y^2 + 1}) = 0 \end{cases}$

Из того, что $f(t)=0$ только при $t=1$, следует:
$\begin{cases} \sqrt{x^2 + 1} = 1 \\ \sqrt{y^2 + 1} = 1 \end{cases}$

Возведя обе части каждого уравнения в квадрат, получим:
$\begin{cases} x^2 + 1 = 1 \\ y^2 + 1 = 1 \end{cases}$
$\begin{cases} x^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases}$

Отсюда следует, что единственное решение — это $x=0$ и $y=0$.

Ответ: $(0, 0)$.