Страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

774. Найдите сумму двадцати пяти первых членов арифметической про-грессии $(a_n)$, если $a_{10} = 44$, а разность прогрессии $d = 4$.

Для нахождения суммы двадцати пяти первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$ необходимо воспользоваться формулой суммы $S_n$. Существует две основные формулы:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — n-й член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов.

По условию задачи, нам даны: десятый член прогрессии $a_{10} = 44$, разность $d = 4$ и количество членов для суммирования $n = 25$. Для использования любой из формул суммы нам необходимо найти первый член прогрессии $a_1$.

Шаг 1: Нахождение первого члена прогрессии $a_1$

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим в нее известные нам значения для десятого члена ($n=10$):
$a_{10} = a_1 + (10 - 1)d$
$44 = a_1 + 9 \cdot 4$
$44 = a_1 + 36$
Теперь выразим и вычислим $a_1$:
$a_1 = 44 - 36$
$a_1 = 8$

Шаг 2: Нахождение суммы двадцати пяти первых членов $S_{25}$

Теперь, зная $a_1 = 8$, $d = 4$ и $n = 25$, мы можем вычислить сумму $S_{25}$ по второй формуле:
$S_{25} = \frac{2a_1 + (25 - 1)d}{2} \cdot 25$
Подставим числовые значения:
$S_{25} = \frac{2 \cdot 8 + (24) \cdot 4}{2} \cdot 25$
$S_{25} = \frac{16 + 96}{2} \cdot 25$
$S_{25} = \frac{112}{2} \cdot 25$
$S_{25} = 56 \cdot 25$
$S_{25} = 1400$

Ответ: $1400$.

грессии $(a_n)$, если $a_{10} = -11$, а разность прогрессии $d = 1$.

775. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_6 + a_8 - a_{14} = -17$ и $a_5 + a_{22} = 101$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$:
$a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ – первый член прогрессии, а $d$ – её разность.

Нам даны два условия:
1) $a_6 + a_8 - a_{14} = -17$
2) $a_5 + a_{22} = 101$

Распишем первое условие, выразив его члены через $a_1$ и $d$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$
$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$
$a_{14} = a_1 + (14-1)d = a_1 + 13d$

Подставим эти выражения в первое уравнение:
$(a_1 + 5d) + (a_1 + 7d) - (a_1 + 13d) = -17$
$a_1 + 5d + a_1 + 7d - a_1 - 13d = -17$
$a_1 + (5d + 7d - 13d) = -17$
$a_1 - d = -17$

Теперь распишем второе условие:
$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$
$a_{22} = a_1 + (22-1)d = a_1 + 21d$

Подставим эти выражения во второе уравнение:
$(a_1 + 4d) + (a_1 + 21d) = 101$
$2a_1 + 25d = 101$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:
$\begin{cases} a_1 - d = -17 \\ 2a_1 + 25d = 101 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a_1$:
$a_1 = d - 17$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2(d - 17) + 25d = 101$
$2d - 34 + 25d = 101$
$27d = 101 + 34$
$27d = 135$
$d = \frac{135}{27} = 5$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в выражение $a_1 = d - 17$:
$a_1 = 5 - 17 = -12$

Итак, мы определили, что первый член прогрессии $a_1 = -12$ и ее разность $d = 5$.

Теперь найдем сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии ($S_{20}$). Воспользуемся формулой суммы:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим наши значения $n=20$, $a_1=-12$ и $d=5$:
$S_{20} = \frac{2(-12) + 5(20-1)}{2} \cdot 20$
$S_{20} = (2 \cdot (-12) + 5 \cdot 19) \cdot 10$
$S_{20} = (-24 + 95) \cdot 10$
$S_{20} = 71 \cdot 10$
$S_{20} = 710$

Ответ: 710.

776. Найдите сумму тридцати трёх первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_3 + a_5 + a_{13} = 33$ и $a_{15} - a_8 - a_{10} = -1$.

Для нахождения суммы первых тридцати трех членов арифметической прогрессии $S_{33}$, нам необходимо определить первый член прогрессии $a_1$ и ее разность $d$. Для этого воспользуемся данными из условия задачи.

Общая формула для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

1. Преобразуем первое уравнение: $a_3 + a_5 + a_{13} = 33$.

Выразим каждый член через $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

$a_{13} = a_1 + (13-1)d = a_1 + 12d$

Подставим эти выражения в уравнение:

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 12d) = 33$

$3a_1 + 18d = 33$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a_1 + 6d = 11$

2. Преобразуем второе уравнение: $a_{15} - a_8 - a_{10} = -1$.

Выразим каждый член через $a_1$ и $d$:

$a_{15} = a_1 + (15-1)d = a_1 + 14d$

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Подставим эти выражения в уравнение:

$(a_1 + 14d) - (a_1 + 7d) - (a_1 + 9d) = -1$

$a_1 + 14d - a_1 - 7d - a_1 - 9d = -1$

$-a_1 - 2d = -1$

Умножим обе части уравнения на -1:

$a_1 + 2d = 1$

3. Решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} a_1 + 6d = 11 \\ a_1 + 2d = 1\end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 11 - 1$

$4d = 10$

$d = \frac{10}{4} = 2.5$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ во второе уравнение:

$a_1 + 2(2.5) = 1$

$a_1 + 5 = 1$

$a_1 = 1 - 5 = -4$

4. Найдем сумму тридцати трех первых членов прогрессии.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения $n=33$, $a_1=-4$ и $d=2.5$:

$S_{33} = \frac{2(-4) + (33-1) \cdot 2.5}{2} \cdot 33$

$S_{33} = \frac{-8 + 32 \cdot 2.5}{2} \cdot 33$

$S_{33} = \frac{-8 + 80}{2} \cdot 33$

$S_{33} = \frac{72}{2} \cdot 33$

$S_{33} = 36 \cdot 33 = 1188$

Ответ: 1188.

777. При любом $n$ сумму $n$ первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = 3n^2 + 5n$. Найдите три первых члена этой прогрессии.

Для нахождения членов арифметической прогрессии воспользуемся данной формулой для суммы первых n членов: $S_n = 3n^2 + 5n$.

Связь между n-м членом прогрессии ($a_n$) и суммой первых n членов ($S_n$) определяется следующими соотношениями:

• Первый член прогрессии $a_1$ равен сумме первого члена: $a_1 = S_1$.
• Любой другой член прогрессии $a_n$ (при $n \ge 2$) можно найти как разность между суммой $S_n$ и суммой $S_{n-1}$: $a_n = S_n - S_{n-1}$.

1. Найдем первый член прогрессии $a_1$.

Подставим $n=1$ в формулу для суммы:

$a_1 = S_1 = 3 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 = 3 \cdot 1 + 5 = 3 + 5 = 8$.

2. Найдем второй член прогрессии $a_2$.

Используем формулу $a_2 = S_2 - S_1$. Сначала вычислим $S_2$, подставив $n=2$:

$S_2 = 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 = 3 \cdot 4 + 10 = 12 + 10 = 22$.

Теперь найдем $a_2$, зная, что $S_1 = 8$:

$a_2 = S_2 - S_1 = 22 - 8 = 14$.

3. Найдем третий член прогрессии $a_3$.

Используем формулу $a_3 = S_3 - S_2$. Сначала вычислим $S_3$, подставив $n=3$:

$S_3 = 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 = 3 \cdot 9 + 15 = 27 + 15 = 42$.

Теперь найдем $a_3$, зная, что $S_2 = 22$:

$a_3 = S_3 - S_2 = 42 - 22 = 20$.

Итак, первые три члена этой арифметической прогрессии: 8, 14, 20.

Ответ: 8, 14, 20.

778. При любом $n$ сумму $n$ первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = 9n - 2n^2$. Найдите седьмой член этой прогрессии.

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии $a_n$, зная формулу для суммы ее первых n членов $S_n$, можно использовать соотношение: $a_n = S_n - S_{n-1}$ (при $n > 1$).

Чтобы найти седьмой член прогрессии ($a_7$), нам нужно найти разность между суммой первых семи членов ($S_7$) и суммой первых шести членов ($S_6$).

По условию задачи, формула для суммы n первых членов: $S_n = 9n - 2n^2$.

1. Сначала вычислим сумму семи первых членов, подставив $n=7$ в данную формулу:

$S_7 = 9 \cdot 7 - 2 \cdot 7^2 = 63 - 2 \cdot 49 = 63 - 98 = -35$.

2. Затем вычислим сумму шести первых членов, подставив $n=6$ в формулу:

$S_6 = 9 \cdot 6 - 2 \cdot 6^2 = 54 - 2 \cdot 36 = 54 - 72 = -18$.

3. Теперь найдем седьмой член прогрессии как разность $S_7$ и $S_6$:

$a_7 = S_7 - S_6 = -35 - (-18) = -35 + 18 = -17$.

Альтернативный способ решения

Можно найти первый член $a_1$ и разность прогрессии $d$, а затем вычислить $a_7$ по общей формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$.

1. Первый член прогрессии $a_1$ равен сумме первого члена $S_1$:

$a_1 = S_1 = 9 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2 = 9 - 2 = 7$.

2. Найдем второй член $a_2$. Для этого сначала найдем сумму первых двух членов $S_2$:

$S_2 = 9 \cdot 2 - 2 \cdot 2^2 = 18 - 8 = 10$.

Второй член $a_2$ равен $S_2 - S_1$:

$a_2 = S_2 - S_1 = 10 - 7 = 3$.

3. Теперь найдем разность арифметической прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 3 - 7 = -4$.

4. Зная $a_1=7$ и $d=-4$, вычислим седьмой член прогрессии:

$a_7 = a_1 + d \cdot (7-1) = 7 + (-4) \cdot 6 = 7 - 24 = -17$.

Оба метода приводят к одинаковому результату.

Ответ: -17

779. (Старинная египетская задача.) Сто мер хлеба надо разделить на пять человек так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвёртый больше третьего и пятый больше четвёртого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше, чем трое последних. Сколько надо дать каждому?

Для решения этой задачи введем переменные. Обозначим количество мер хлеба, которое получил каждый из пяти человек, через $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ соответственно.

Условие "второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвёртый больше третьего и пятый больше четвёртого" означает, что количества хлеба образуют арифметическую прогрессию. Пусть первый человек получил $a$ мер хлеба ($x_1 = a$), а разность этой прогрессии равна $d$. Тогда доли каждого можно выразить следующим образом:

• Первый человек: $x_1 = a$
• Второй человек: $x_2 = a + d$
• Третий человек: $x_3 = a + 2d$
• Четвёртый человек: $x_4 = a + 3d$
• Пятый человек: $x_5 = a + 4d$

Общее количество хлеба составляет 100 мер. Составим первое уравнение, просуммировав доли всех пятерых:

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 100$

$a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d) = 100$

Упростим это выражение, сгруппировав слагаемые:

$5a + 10d = 100$

Разделим обе части уравнения на 5:

$a + 2d = 20$

Это наше первое уравнение. Интересно, что выражение $a + 2d$ — это в точности доля третьего человека ($x_3$). Таким образом, мы уже знаем, что третий человек получил 20 мер хлеба.

Второе условие задачи гласит, что "двое первых должны получить в 7 раз меньше, чем трое последних". Запишем это в виде второго уравнения.

Сумма долей первых двух человек: $x_1 + x_2 = a + (a + d) = 2a + d$.

Сумма долей последних трёх человек: $x_3 + x_4 + x_5 = (a + 2d) + (a + 3d) + (a + 4d) = 3a + 9d$.

Составим уравнение согласно условию "в 7 раз меньше":

$7 \cdot (2a + d) = 3a + 9d$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$14a + 7d = 3a + 9d$

$14a - 3a = 9d - 7d$

$11a = 2d$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} a + 2d = 20 \\ 11a = 2d \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Подставим выражение для $2d$ из второго уравнения ($2d = 11a$) в первое уравнение:

$a + (11a) = 20$

$12a = 20$

$a = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Теперь, зная значение $a$, найдем $d$ из уравнения $11a = 2d$:

$d = \frac{11a}{2} = \frac{11 \cdot (5/3)}{2} = \frac{55/3}{2} = \frac{55}{6}$

Мы нашли первый член прогрессии $a$ и ее разность $d$. Теперь можем вычислить, сколько хлеба получил каждый человек:

• $x_1 = a = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$
• $x_2 = a + d = \frac{5}{3} + \frac{55}{6} = \frac{10}{6} + \frac{55}{6} = \frac{65}{6} = 10 \frac{5}{6}$
• $x_3 = a + 2d = \frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{55}{6} = \frac{5}{3} + \frac{55}{3} = \frac{60}{3} = 20$
• $x_4 = a + 3d = \frac{5}{3} + 3 \cdot \frac{55}{6} = \frac{5}{3} + \frac{55}{2} = \frac{10}{6} + \frac{165}{6} = \frac{175}{6} = 29 \frac{1}{6}$
• $x_5 = a + 4d = \frac{5}{3} + 4 \cdot \frac{55}{6} = \frac{5}{3} + \frac{110}{3} = \frac{115}{3} = 38 \frac{1}{3}$

Ответ: первому человеку надо дать $1 \frac{2}{3}$ меры хлеба, второму — $10 \frac{5}{6}$, третьему — $20$, четвёртому — $29 \frac{1}{6}$, а пятому — $38 \frac{1}{3}$ мер хлеба.

780. Чему равна сумма $n$ первых:

1) натуральных чисел;

2) нечётных чисел?

1) натуральных чисел;

Последовательность первых $n$ натуральных чисел — это $1, 2, 3, \dots, n$. Данная последовательность является арифметической прогрессией, у которой первый член $a_1 = 1$, а $n$-й член $a_n = n$.
Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии ($S_n$) вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим значения для последовательности натуральных чисел:
$S_n = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n(n+1)}{2}$
Ответ: $\frac{n(n+1)}{2}$

2) нечётных чисел?

Последовательность первых $n$ нечётных чисел — это $1, 3, 5, 7, \dots$. Эта последовательность также является арифметической прогрессией.
Её первый член $a_1 = 1$, а разность прогрессии $d = 2$.
Найдём $n$-й член этой прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_n = 1 + (n-1) \cdot 2 = 1 + 2n - 2 = 2n-1$
Теперь вычислим сумму $n$ первых членов по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_n = \frac{1 + (2n-1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$
Таким образом, сумма первых $n$ нечётных натуральных чисел равна $n^2$.
Ответ: $n^2$

781. Чему равна сумма $n$ первых чётных чисел?

Чтобы найти сумму $n$ первых чётных чисел, необходимо сначала определить, что из себя представляет эта последовательность. Первые чётные числа — это 2, 4, 6, 8, и так далее. Мы видим, что это арифметическая прогрессия.

Обозначим эту сумму как $S_n$. Тогда:

$S_n = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n$

Для нахождения этой суммы можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Использование формулы суммы арифметической прогрессии

Последовательность чётных чисел является арифметической прогрессией, где:

• первый член $a_1 = 2$;
• $n$-й член $a_n = 2n$;
• количество членов равно $n$.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит так:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим наши значения в эту формулу:

$S_n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n$

Вынесем общий множитель 2 в числителе дроби:

$S_n = \frac{2(1 + n)}{2} \cdot n$

Сократим на 2 и получим итоговую формулу:

$S_n = (1 + n) \cdot n = n(n+1)$

Способ 2: Вынесение общего множителя

Рассмотрим нашу сумму ещё раз:

$S_n = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n$

Можно заметить, что каждый член суммы делится на 2. Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$S_n = 2(1 + 2 + 3 + \dots + n)$

Выражение в скобках представляет собой сумму первых $n$ натуральных чисел. Для этой суммы существует известная формула:

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Теперь подставим это выражение обратно в нашу формулу для $S_n$:

$S_n = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

Сократив двойки, мы получаем тот же самый результат:

$S_n = n(n+1)$

Таким образом, сумма первых $n$ чётных чисел равна произведению $n$ на $n+1$.

Ответ: $n(n+1)$

782. Какое натуральное число равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел?

Обозначим искомое натуральное число через $n$.

По условию задачи, это число должно быть равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел. Предшествующие числу $n$ натуральные числа — это $1, 2, 3, \dots, (n-1)$.

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение: $n = 1 + 2 + 3 + \dots + (n-1)$

Сумма в правой части уравнения представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Сумму первых $k$ членов арифметической прогрессии натуральных чисел можно вычислить по формуле $S_k = \frac{k(k+1)}{2}$.

В нашем случае мы ищем сумму первых $(n-1)$ натуральных чисел, то есть $k = n-1$. Подставив это значение в формулу, получим: $S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1)+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$

Теперь приравняем полученное выражение для суммы к самому числу $n$, согласно условию задачи: $n = \frac{n(n-1)}{2}$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2: $2n = n(n-1)$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные: $2n - n(n-1) = 0$ $2n - n^2 + n = 0$ $3n - n^2 = 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки: $n(3-n) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $n=0$ или $n=3$.

В задаче требуется найти натуральное число. Натуральные числа — это числа, которые используются для счета предметов: 1, 2, 3 и так далее. Число 0 не является натуральным. Следовательно, единственным решением, удовлетворяющим условию, является $n=3$.

Проверим результат. Для числа 3 предшествующими ему натуральными числами являются 1 и 2. Их сумма равна $1 + 2 = 3$. Это значение равно самому числу 3, что и требовалось в задаче.

Ответ: 3

783. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрес-сии $-6,2; -5,9; -5,6; \ldots$

Данная последовательность является арифметической прогрессией. Чтобы найти сумму всех ее отрицательных членов, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти первый член и разность прогрессии.
Первый член прогрессии известен из условия: $a_1 = -6,2$.
Разность арифметической прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую отличается каждый последующий член от предыдущего. Найдем ее, вычтя из второго члена первый:
$d = a_2 - a_1 = -5,9 - (-6,2) = -5,9 + 6,2 = 0,3$.

2. Определить количество отрицательных членов прогрессии.
Нам нужно найти все члены прогрессии $a_n$, которые меньше нуля. Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и решим неравенство $a_n < 0$:
$-6,2 + (n-1) \cdot 0,3 < 0$
Перенесем -6,2 в правую часть:
$0,3(n-1) < 6,2$
Разделим обе части на 0,3:
$n-1 < \frac{6,2}{0,3}$
$n-1 < \frac{62}{3}$
$n-1 < 20\frac{2}{3}$
$n < 21\frac{2}{3}$
Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, наибольшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=21$. Таким образом, в данной прогрессии ровно 21 отрицательный член.

3. Вычислить сумму всех отрицательных членов.
Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно найти по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
В нашем случае нужно найти сумму первых 21 члена ($S_{21}$).
Сначала найдем значение последнего отрицательного члена, $a_{21}$:
$a_{21} = a_1 + (21-1)d = -6,2 + 20 \cdot 0,3 = -6,2 + 6 = -0,2$.
Теперь подставим значения $a_1$, $a_{21}$ и $n=21$ в формулу суммы:
$S_{21} = \frac{-6,2 + (-0,2)}{2} \cdot 21$
$S_{21} = \frac{-6,4}{2} \cdot 21$
$S_{21} = -3,2 \cdot 21$
$S_{21} = -67,2$.

Ответ: -67,2

784. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 8,4; 7,8; 7,2; ... .

Дана арифметическая прогрессия, у которой первый член $a_1 = 8,4$, а второй член $a_2 = 7,8$.

Сначала найдем разность арифметической прогрессии $d$:
$d = a_2 - a_1 = 7,8 - 8,4 = -0,6$.

Далее нам нужно найти количество положительных членов этой прогрессии. Член арифметической прогрессии $a_n$ является положительным, если выполняется неравенство $a_n > 0$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим наши значения и решим неравенство:
$8,4 + (n-1)(-0,6) > 0$
$8,4 - 0,6n + 0,6 > 0$
$9 - 0,6n > 0$
$9 > 0,6n$
$n < \frac{9}{0,6}$
$n < 15$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом, наибольшее значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 14. Таким образом, в прогрессии 14 положительных членов.

Теперь найдем сумму этих 14 членов. Для этого нам понадобится значение последнего положительного члена, $a_{14}$:
$a_{14} = a_1 + (14-1)d = 8,4 + 13 \cdot (-0,6) = 8,4 - 7,8 = 0,6$.

Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно найти по формуле:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим значения для $n=14$:
$S_{14} = \frac{8,4 + 0,6}{2} \cdot 14 = \frac{9}{2} \cdot 14 = 9 \cdot 7 = 63$.

Ответ: 63

785. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 5 и не больших 240.

Данная задача сводится к нахождению суммы членов арифметической прогрессии. Последовательность натуральных чисел, кратных 5, начинается с 5 и каждое следующее число на 5 больше предыдущего. Нам нужно найти сумму всех таких чисел, которые не превышают 240.

Таким образом, мы имеем дело с арифметической прогрессией, у которой:
Первый член прогрессии $a_1 = 5$.
Разность прогрессии $d = 5$.
Последний член прогрессии $a_n = 240$, так как 240 кратно 5 и является максимальным числом в указанном диапазоне.

Сначала определим количество членов ($n$) в этой прогрессии, используя формулу для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения:
$240 = 5 + (n-1) \cdot 5$
$235 = (n-1) \cdot 5$
$n-1 = \frac{235}{5}$
$n-1 = 47$
$n = 48$
Итак, в нашей последовательности 48 чисел.

Теперь найдем сумму этих чисел ($S_n$) по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим значения $a_1 = 5$, $a_n = 240$ и $n = 48$:
$S_{48} = \frac{5 + 240}{2} \cdot 48$
$S_{48} = \frac{245}{2} \cdot 48$
$S_{48} = 245 \cdot 24$
$S_{48} = 5880$

Ответ: 5880

786. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и меньших 130.

Нам нужно найти сумму всех натуральных чисел, которые кратны 4 и меньше 130. Эти числа образуют арифметическую прогрессию.

Шаг 1: Определение первого и последнего членов прогрессии.

Первый член прогрессии ($a_1$) — это наименьшее натуральное число, кратное 4. Таким образом, $a_1 = 4$.

Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее число, кратное 4 и меньшее 130. Для его нахождения разделим 130 на 4: $130 \div 4 = 32.5$. Наибольшее целое число, которое меньше 32.5, — это 32. Следовательно, последний член прогрессии равен $a_n = 32 \times 4 = 128$.

Разность этой прогрессии ($d$) равна 4.

Шаг 2: Нахождение количества членов прогрессии.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения: $a_1 = 4$, $a_n = 128$ и $d = 4$.

$128 = 4 + (n-1) \times 4$

$124 = (n-1) \times 4$

$n - 1 = \frac{124}{4}$

$n - 1 = 31$

$n = 32$

Таким образом, в последовательности 32 числа.

Шаг 3: Вычисление суммы прогрессии.

Используем формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$.

Подставим найденные значения $a_1=4$, $a_n=128$ и $n=32$:

$S_{32} = \frac{4 + 128}{2} \times 32$

$S_{32} = \frac{132}{2} \times 32$

$S_{32} = 66 \times 32$

$S_{32} = 2112$

Ответ: 2112

787. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 12 и меньших 200.

Натуральные числа, кратные 12 и меньшие 200, образуют арифметическую прогрессию.

Первый член этой прогрессии ($a_1$) — это наименьшее натуральное число, кратное 12, то есть $a_1 = 12$.

Разность прогрессии ($d$) также равна 12, так как каждый следующий член больше предыдущего на 12.

Найдем последний член прогрессии ($a_n$), который меньше 200. Для этого разделим 200 на 12 с остатком:
$200 \div 12 = 16$ (остаток 8)
Это означает, что наибольшее число, кратное 12 и не превышающее 200, можно найти, умножив 12 на 16.
$a_n = 12 \cdot 16 = 192$.

Теперь определим количество членов ($n$) в данной прогрессии. Воспользуемся формулой для нахождения n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения:
$192 = 12 + (n-1) \cdot 12$
Вычтем 12 из обеих частей:
$180 = (n-1) \cdot 12$
Разделим обе части на 12:
$n-1 = \frac{180}{12}$
$n-1 = 15$
$n = 16$.
Итак, в прогрессии 16 членов.

Для вычисления суммы всех членов прогрессии ($S_n$) используем формулу суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{16} = \frac{12 + 192}{2} \cdot 16$
$S_{16} = \frac{204}{2} \cdot 16$
$S_{16} = 102 \cdot 16$
$S_{16} = 1632$.

Ответ: 1632.

788. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 8.

Все трёхзначные числа, кратные 8, образуют арифметическую прогрессию. Чтобы найти их сумму, нам нужно определить первый и последний члены этой прогрессии, а также их общее количество.

Сначала найдём первый член прогрессии ($a_1$). Наименьшее трёхзначное число — это 100. Найдём наименьшее трёхзначное число, которое делится на 8 без остатка.
$100 \div 8 = 12$ (остаток 4).
Чтобы получить число, кратное 8, нужно либо вычесть остаток (что даст двузначное число $100 - 4 = 96$), либо прибавить недостающее до 8 число ($8 - 4 = 4$).
$100 + 4 = 104$.
Таким образом, первый член прогрессии $a_1 = 104$.

Теперь найдём последний член прогрессии ($a_n$). Наибольшее трёхзначное число — это 999.
$999 \div 8 = 124$ (остаток 7).
Чтобы получить наибольшее трёхзначное число, кратное 8, нужно от 999 отнять остаток.
$999 - 7 = 992$.
Таким образом, последний член прогрессии $a_n = 992$.

Разность арифметической прогрессии $d$ равна 8. Найдём количество членов прогрессии ($n$) по формуле n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставляем известные значения:
$992 = 104 + (n-1) \cdot 8$
$992 - 104 = (n-1) \cdot 8$
$888 = (n-1) \cdot 8$
$n - 1 = \frac{888}{8}$
$n - 1 = 111$
$n = 112$
Итак, в прогрессии 112 членов.

Наконец, вычислим сумму всех членов прогрессии ($S_n$) по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{112} = \frac{104 + 992}{2} \cdot 112$
$S_{112} = \frac{1096}{2} \cdot 112$
$S_{112} = 548 \cdot 112$
$S_{112} = 61376$

Ответ: 61376

789. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 7.

Трехзначные числа, кратные 7, представляют собой арифметическую прогрессию. Чтобы найти их сумму, нам нужно определить первый член прогрессии ($a_1$), последний член ($a_n$) и их количество ($n$).

1. Находим первый член прогрессии ($a_1$)

Наименьшее трехзначное число — это 100. Чтобы найти первое трехзначное число, кратное 7, разделим 100 на 7:

$100 \div 7 \approx 14.28$

Ближайшее целое число, большее 14.28, это 15. Умножим его на 7:

$15 \times 7 = 105$

Таким образом, первый член нашей прогрессии $a_1 = 105$.

2. Находим последний член прогрессии ($a_n$)

Наибольшее трехзначное число — это 999. Чтобы найти последнее трехзначное число, кратное 7, разделим 999 на 7:

$999 \div 7 \approx 142.71$

Возьмем целую часть от деления, это 142. Умножим ее на 7:

$142 \times 7 = 994$

Таким образом, последний член нашей прогрессии $a_n = 994$.

3. Находим количество членов прогрессии ($n$)

Разность арифметической прогрессии $d$ равна 7. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и подставим известные значения:

$994 = 105 + (n-1) \times 7$

Выразим $n$:

$994 - 105 = (n-1) \times 7$

$889 = (n-1) \times 7$

$n-1 = \frac{889}{7}$

$n-1 = 127$

$n = 127 + 1 = 128$

Всего существует 128 трехзначных чисел, кратных 7.

4. Находим сумму всех членов прогрессии ($S_n$)

Теперь воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \times n$

Подставим наши значения:

$S_{128} = \frac{105 + 994}{2} \times 128$

$S_{128} = \frac{1099}{2} \times 128$

$S_{128} = 1099 \times 64$

$S_{128} = 70336$

Ответ: 70336

790. Найдите разность арифметической прогрессии, первый член которой равен 8,5, а сумма шестнадцати первых членов составляет 172.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Где $S_n$ — сумма первых $n$ членов прогрессии, $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

Первый член $a_1 = 8,5$.

Количество членов $n = 16$.

Сумма первых 16 членов $S_{16} = 172$.

Необходимо найти разность прогрессии $d$.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$172 = \frac{2 \cdot 8,5 + d(16-1)}{2} \cdot 16$

Выполним вычисления в числителе дроби и в скобках:

$2 \cdot 8,5 = 17$

$16 - 1 = 15$

Теперь уравнение примет вид:

$172 = \frac{17 + 15d}{2} \cdot 16$

Сократим множитель 16 и знаменатель 2:

$172 = (17 + 15d) \cdot 8$

Разделим обе части уравнения на 8:

$\frac{172}{8} = 17 + 15d$

$21,5 = 17 + 15d$

Теперь выразим слагаемое, содержащее $d$, перенеся 17 в левую часть уравнения:

$15d = 21,5 - 17$

$15d = 4,5$

Наконец, найдем $d$, разделив обе части на 15:

$d = \frac{4,5}{15}$

$d = 0,3$

Ответ: 0,3.

791. Найдите первый член арифметической прогрессии, разность которой равна $-4$, а сумма девяти первых членов составляет $-54$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$$

где $S_n$ – сумма первых n членов, $a_1$ – первый член прогрессии, d – разность прогрессии, а n – количество членов.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

• Разность прогрессии: $d = -4$
• Количество членов: $n = 9$
• Сумма первых девяти членов: $S_9 = -54$

Требуется найти первый член прогрессии, $a_1$.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$$-54 = \frac{2a_1 + (-4)(9-1)}{2} \cdot 9$$

Теперь решим это уравнение относительно $a_1$.

1. Сначала упростим выражение в скобках:

$$-54 = \frac{2a_1 - 4 \cdot 8}{2} \cdot 9$$

$$-54 = \frac{2a_1 - 32}{2} \cdot 9$$

2. Разделим обе части уравнения на 9:

$$\frac{-54}{9} = \frac{2a_1 - 32}{2}$$

$$-6 = \frac{2a_1 - 32}{2}$$

3. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$$-6 \cdot 2 = 2a_1 - 32$$

$$-12 = 2a_1 - 32$$

4. Перенесем -32 в левую часть уравнения с противоположным знаком:

$$32 - 12 = 2a_1$$

$$20 = 2a_1$$

5. Найдем $a_1$, разделив обе части на 2:

$$a_1 = \frac{20}{2}$$

$$a_1 = 10$$

Ответ: 10

792. Первый член арифметической прогрессии равен $-9$, а разность равна $6$. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной $960$?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$,где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов, которое нам нужно найти.

По условию задачи нам известны следующие значения:

Первый член прогрессии $a_1 = -9$.

Разность прогрессии $d = 6$.

Сумма первых $n$ членов $S_n = 960$.

Подставим эти значения в формулу суммы и решим получившееся уравнение относительно $n$:

$960 = \frac{2 \cdot (-9) + 6 \cdot (n-1)}{2} \cdot n$

Упростим выражение в числителе дроби:

$960 = \frac{-18 + 6n - 6}{2} \cdot n$

$960 = \frac{6n - 24}{2} \cdot n$

Разделим числитель на знаменатель:

$960 = (3n - 12) \cdot n$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$960 = 3n^2 - 12n$

$3n^2 - 12n - 960 = 0$

Чтобы упростить вычисления, разделим все члены уравнения на 3:

$n^2 - 4n - 320 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 16 + 1280 = 1296$

Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n = \frac{-(-4) \pm \sqrt{1296}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 36}{2}$

Получаем два возможных значения для $n$:

$n_1 = \frac{4 + 36}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$n_2 = \frac{4 - 36}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку $n$ — это количество членов прогрессии, оно должно быть натуральным числом. Следовательно, корень $n_2 = -16$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $n_1 = 20$.

Ответ: нужно взять 20 первых членов прогрессии.