Номер 782, страница 226 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

782. Какое натуральное число равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел?

Обозначим искомое натуральное число через $n$.

По условию задачи, это число должно быть равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел. Предшествующие числу $n$ натуральные числа — это $1, 2, 3, \dots, (n-1)$.

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение: $n = 1 + 2 + 3 + \dots + (n-1)$

Сумма в правой части уравнения представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Сумму первых $k$ членов арифметической прогрессии натуральных чисел можно вычислить по формуле $S_k = \frac{k(k+1)}{2}$.

В нашем случае мы ищем сумму первых $(n-1)$ натуральных чисел, то есть $k = n-1$. Подставив это значение в формулу, получим: $S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1)+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$

Теперь приравняем полученное выражение для суммы к самому числу $n$, согласно условию задачи: $n = \frac{n(n-1)}{2}$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на 2: $2n = n(n-1)$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные: $2n - n(n-1) = 0$ $2n - n^2 + n = 0$ $3n - n^2 = 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки: $n(3-n) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $n=0$ или $n=3$.

В задаче требуется найти натуральное число. Натуральные числа — это числа, которые используются для счета предметов: 1, 2, 3 и так далее. Число 0 не является натуральным. Следовательно, единственным решением, удовлетворяющим условию, является $n=3$.

Проверим результат. Для числа 3 предшествующими ему натуральными числами являются 1 и 2. Их сумма равна $1 + 2 = 3$. Это значение равно самому числу 3, что и требовалось в задаче.

Ответ: 3